Степень числа с натуральным показателем — тренажёр для 6 класса

Определение

Степень числа с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей, записанное кратко в виде aⁿ. Число a называют основанием степени, число n — показателем степени: он показывает, сколько раз основание берётся множителем.

Запись 5⁴ означает 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Четвёрка не участвует в умножении как число — она только считает множители. Такая краткая форма экономит место и делает вычисления обозримыми: 2¹⁰ короче, чем цепочка из десяти двоек.

Степень в 6 классе связывает арифметику с геометрией. Вторая степень (квадрат числа) даёт площадь квадрата, третья степень (куб числа) — объём куба. Отсюда и названия: a² читают «а в квадрате», a³ — «а в кубе».

Ключевые правила

Степень с натуральным показателем вычисляется только через повторное умножение основания на само себя — показатель никогда не складывается и не умножается с основанием.

1. Основное определение. aⁿ = a · a · … · a, где множителей ровно n штук (n ≥ 2). Пример: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
2. Первая степень. a¹ = a, показатель 1 обычно не пишут. Пример: 7¹ = 7.
3. Степени 0 и 1. 1ⁿ = 1 при любом натуральном n, 0ⁿ = 0. Пример: 1⁵ = 1, 0³ = 0.
4. Степени десяти. 10ⁿ — единица с n нулями. Пример: 10⁴ = 10 000.
5. Порядок действий. Степень выполняется раньше умножения, деления, сложения и вычитания, но позже действий в скобках. Пример: 5 + 2 · 3² = 5 + 2 · 9 = 23.
6. Знак основания. (−a)ⁿ при чётном n даёт положительное число, при нечётном — отрицательное. Пример: (−2)⁴ = 16, а (−2)³ = −8.
7. Сравнение степеней. При равных основаниях (больше 1) больше та степень, у которой больше показатель: 2⁷ > 2⁵. При равных показателях больше та, у которой больше основание: 5³ > 4³.
8. Геометрический смысл. Площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба с ребром a равен a³.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислить 2⁶. 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Умножаем последовательно: 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32, 32 · 2 = 64. Ответ: 64. Вывод: степень раскрывается пошагово, каждый раз предыдущий результат умножается на основание.

Пример 2. Найти значение выражения 100 − 4 · 5². Сначала степень: 5² = 25. Затем умножение: 4 · 25 = 100. Затем вычитание: 100 − 100 = 0. Ответ: 0. Вывод: пропуск порядка действий (сначала 4 · 5 = 20) даёт неверные 100 − 400 = −300.

Пример 3. Сторона квадратной клумбы 9 м, ребро кубической коробки 4 дм. Найти площадь и объём. S = 9² = 81 (м²), V = 4³ = 64 (дм³). Вывод: вторая степень «отвечает» за плоскую фигуру и единицы с двойкой, третья — за тело и единицы с тройкой.

Пример 4. Сравнить 2⁵ и 5². 2⁵ = 32, 5² = 25, значит 2⁵ > 5². Вывод: при разных основаниях и разных показателях сравнивать «на глаз» нельзя — нужно вычислить обе степени.

Пример 5. Сравнить 3¹⁰ и 3⁸ без вычислений. Основания одинаковые и больше единицы, показатель 10 больше показателя 8, значит 3¹⁰ > 3⁸. Вывод: одинаковое основание позволяет сравнивать только показатели.

Таблица степеней и терминов

Типичные ошибки

Умножение основания на показатель. Ошибка возникает из-за привычки видеть рядом два числа и перемножать их. Неправильно: 6³ = 18. Правильно: 6³ = 6 · 6 · 6 = 216.

Путаница квадрата и куба. Показатели 2 и 3 стоят рядом, а слова «квадрат» и «куб» ученик связывает с фигурой, а не с числом. Неправильно: объём куба с ребром 5 см равен 25 см³. Правильно: 5³ = 125 см³.

Нарушение порядка действий. Причина — чтение выражения слева направо. Неправильно: 3 · 2⁴ = 6⁴ = 1296. Правильно: 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48.

Потеря скобок у отрицательного числа. Записи −4² и (−4)² различаются: в первой в квадрат возводится только 4, поэтому −4² = −16, а (−4)² = 16.

Сравнение степеней по одному признаку. Ошибка появляется, когда сравнивают только показатели при разных основаниях. Неправильно: 2⁶ < 3⁴, потому что 6 > 4 «не считается». Правильно: 2⁶ = 64, 3⁴ = 81, значит 2⁶ < 3⁴.

Пошаговый алгоритм

1. Найдите в записи основание (число внизу) и показатель (маленькое число вверху).
2. Определите, сколько множителей нужно взять, — это показатель.
3. Проверьте знак основания и наличие скобок: скобки включают минус в возведение в степень.
4. Расставьте порядок действий во всём выражении: скобки → степени → умножение и деление → сложение и вычитание.
5. Вычислите степень последовательным умножением, записывая промежуточные результаты.
6. Для геометрической задачи выберите степень по смыслу: площадь — вторая, объём — третья.
7. Запишите ответ с единицами измерения: см² для площади, см³ для объёма.
8. Проверьте результат прикидкой: 2ⁿ, 3ⁿ, 10ⁿ растут быстро, и 4³ не может равняться 12 или 100.

Как запомнить

Показатель считает множители, а не участвует в умножении — короткая фраза «показатель командует, основание работает» снимает главную ошибку.

• Квадрат — плоская фигура, у неё две измеряемые стороны → показатель 2 → см².
• Куб — тело, у него три измерения → показатель 3 → см³.
• Степени десяти: показатель равен числу нулей (10⁵ = 100 000).
• Полезно выучить наизусть: 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125, 11² = 121, 12² = 144.
• Знак: чётный показатель «выпрямляет» минус, нечётный — сохраняет.