Задачи на проценты — тренажёр для 6 класса

Определение

Процент — это одна сотая часть числа, единица измерения доли в задачах на сравнение величин. Запись 1% означает 0,01 исходной величины, а 100% — всю величину целиком.

Проценты нужны там, где сравнивают часть с целым: доля отличников в классе, скидка на товар, налог с зарплаты, содержание соли в растворе. Любую задачу на проценты можно перевести на язык дробей: 25% = 0,25 = ¼, 40% = 0,4 = ⅖, 150% = 1,5.

В курсе 6 класса встречаются три основных вопроса: найти процент от числа, найти число по его проценту и узнать, сколько процентов одно число составляет от другого. Задачи на скидки, налоги и концентрации — это те же три вопроса, только в жизненной обёртке.

Ключевые правила

Проценты переводят в десятичную дробь делением на 100, и дальше работают с обычными числами.

1. Перевод процентов в дробь. Делим число процентов на 100: 7% = 0,07; 30% = 0,3; 120% = 1,2. Обратный перевод — умножение на 100: 0,45 = 45%.
2. Процент от числа. Умножаем число на дробь: 20% от 350 → 350 · 0,2 = 70.
3. Число по проценту. Делим известную часть на дробь: 30% числа равны 42 → 42 : 0,3 = 140.
4. Процентное содержание. Делим часть на целое и умножаем на 100%: 12 от 48 → 12 : 48 · 100% = 25%.
5. Увеличение на p%. Умножаем на коэффициент (1 + p : 100): рост на 15% → умножить на 1,15.
6. Уменьшение на p%. Умножаем на коэффициент (1 − p : 100): скидка 15% → умножить на 0,85.

Разбор примеров

Пример 1. Процент от числа. В школе 640 учеников, 35% из них ходят в кружки. Сколько это человек? Переводим: 35% = 0,35. Умножаем: 640 · 0,35 = 224. Здесь целое (640) известно, ищем часть — значит, умножаем. Вывод: известно целое → умножение.

Пример 2. Число по проценту. Турист прошёл 18 км, что составило 24% маршрута. Какова длина маршрута? Часть известна (18 км), целое неизвестно: 18 : 0,24 = 75 км. Проверка: 75 · 0,24 = 18. Вывод: известна часть, ищем целое → деление.

Пример 3. Процентное содержание. В растворе массой 250 г содержится 30 г соли. Определим концентрацию: 30 : 250 = 0,12 = 12%. За 100% берут массу всего раствора, а не воды. Вывод: часть делим на целое и умножаем на 100%.

Пример 4. Скидка. Куртка стоила 4200 р., её цену снизили на 25%. Первый способ: 4200 · 0,25 = 1050 (скидка), 4200 − 1050 = 3150. Второй способ короче: 4200 · 0,75 = 3150. Вывод: коэффициент 0,75 сразу даёт новую цену.

Пример 5. Налог. Зарплата 32 000 р., налог 13%. На руки: 32 000 · 0,87 = 27 840 р. Налог считают от начисленной суммы, поэтому 100% — это 32 000, а не то, что получено на руки.

Пример 6. Два изменения подряд. Цену повысили на 20%, затем снизили на 20%. Было 500 р.: 500 · 1,2 = 600, затем 600 · 0,8 = 480. Итог меньше начальной цены, потому что второй процент считался от 600, а не от 500. Вывод: проценты берутся от разных величин, «туда-обратно» не возвращает к началу.

Таблица

Типичные ошибки

Умножение вместо деления при поиске числа по проценту. Ошибка возникает из-за привычки к первому типу задач. Неправильно: «12% числа равны 60, значит 60 · 0,12 = 7,2». Правильно: 60 : 0,12 = 500. Ориентир: целое всегда больше своей части (если процент меньше 100).

Неверный перевод процентов в дробь. Ученик отбрасывает один ноль: 5% = 0,5 вместо 0,05. Причина — деление на 10 вместо 100. Правильно: 5 : 100 = 0,05; 50 : 100 = 0,5.

Неправильный выбор целого. В задаче «в растворе 40 г соли и 160 г воды» за 100% берут воду. Неправильно: 40 : 160 · 100% = 25%. Правильно: масса раствора 40 + 160 = 200 г, концентрация 40 : 200 · 100% = 20%.

Сложение процентов от разных величин. «Цену подняли на 10%, потом ещё на 10% — итого на 20%». Правильно: 1,1 · 1,1 = 1,21, то есть рост на 21%. Второй процент считается от уже увеличенной цены.

Потеря вопроса задачи. Найдя размер скидки 1050 р., ученик записывает её в ответ, хотя спрашивали новую цену. Правильно: дочитать вопрос и выполнить вычитание 4200 − 1050 = 3150.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте задачу и выпишите числа с наименованиями.
2. Определите величину, принятую за 100% (целое) — она стоит после слов «от», «из», «составляет … от».
3. Установите тип задачи: ищем часть, целое или процент.
4. Переведите проценты в десятичную дробь делением на 100.
5. Для увеличения или уменьшения составьте коэффициент: 1 + p : 100 или 1 − p : 100.
6. Выполните одно действие по таблице типов задач.
7. Сравните полученное число с вопросом задачи и запишите ответ с наименованием.
8. Проверьте результат обратным действием или прикидкой: 25% ≈ четверть, 50% — половина, 10% — десятая часть.

Как запомнить

Короткое правило действий: от числа — умножай, по проценту — дели, содержание — часть на целое.

Опорные равенства для быстрой прикидки: 10% = : 10, 25% = : 4, 50% = : 2, 20% = : 5, 1% = : 100.

Коэффициенты изменения удобно держать в памяти парами: скидка 10% → 0,9; скидка 20% → 0,8; наценка 10% → 1,1; наценка 50% → 1,5. Одно умножение заменяет два действия.

Слова-ориентиры в условии: «составляет … от» — ищем проценты; «найдите, сколько было» при известной части — деление; «подорожал», «вырос», «прибавили» — коэффициент больше единицы; «скидка», «уценка», «налог удержан» — коэффициент меньше единицы.