Отношения и пропорции — тренажёр для 6 класса

Раздел 1 — Определение

Отношение двух чисел — это их частное, которое показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первого числа составляет второе. Записывают отношение через двоеточие a : b или дробью a/b, где второе число не равно нулю.

Пропорция — это верное равенство двух отношений: a : b = c : d. Числа a и d называют крайними членами, числа b и c — средними членами.

Тема связывает дроби, деление и задачи на величины. Отношение переводит сравнение «на сколько больше» в сравнение «во сколько раз», а пропорция позволяет по трём известным числам найти четвёртое — на этом построены расчёты масштаба, процентов, рецептов, скорости и производительности.

Раздел 2 — Ключевые правила

Пропорция подчиняется одному главному правилу: произведение крайних членов равно произведению средних.

1. Отношение записывают дробью. 15 : 25 = 15/25 = 3/5. Второй член отношения (делитель) нулём быть не может.
2. Отношение сокращают, как обычную дробь. Отношение 18 : 12 сокращают на 6 и получают 3 : 2 — величина отношения не меняется.
3. Порядок чисел важен. 4 : 5 и 5 : 4 — разные отношения: первое равно 0,8, второе равно 1,25.
4. Основное свойство пропорции: если a : b = c : d, то a · d = b · c. Из 2 : 3 = 8 : 12 следует 2 · 12 = 3 · 8 = 24.
5. Обратное правило работает тоже. Если a · d = b · c, то из этих чисел можно составить пропорцию. Проверка 7 · 6 = 14 · 3 (42 = 42) доказывает верность пропорции 7 : 14 = 3 : 6.
6. Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: из x : 4 = 9 : 6 получаем x = (4 · 9) : 6 = 6.
7. Неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на известный средний: из 3 : x = 6 : 10 получаем x = (3 · 10) : 6 = 5.
8. Прямая пропорциональность: при увеличении одной величины в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз, частное y : x постоянно.
9. Обратная пропорциональность: при увеличении одной величины в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз, произведение x · y постоянно.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Найти отношение 24 к 36. Записываем частное: 24 : 36 = 24/36. Сокращаем на 12: получаем 2/3. Первое число составляет две трети второго. Вывод: отношение — это дробь, и её всегда доводят до несократимого вида.

Пример 2. Верна ли пропорция 5 : 8 = 20 : 32? Перемножаем крест-накрест: крайние 5 · 32 = 160, средние 8 · 20 = 160. Произведения равны, значит равенство верно. Вывод: проверка пропорции сводится к сравнению двух произведений, а не к вычислению самих дробей.

Пример 3. Найти неизвестный член: x : 7 = 12 : 21. Неизвестное x стоит на месте крайнего члена. По основному свойству x · 21 = 7 · 12, то есть 21x = 84, откуда x = 4. Проверка: 4 · 21 = 84 и 7 · 12 = 84. Вывод: пропорция с одним неизвестным превращается в простое уравнение.

Пример 4. За 6 одинаковых блокнотов заплатили 210 рублей. Сколько стоят 8 таких блокнотов? Количество и стоимость связаны прямой пропорциональностью: больше блокнотов — больше денег. Составляем 6 : 8 = 210 : x, отсюда 6x = 8 · 210 = 1680, x = 280. Ответ: 280 рублей. Вывод: при прямой зависимости отношения записывают в одинаковом порядке.

Пример 5. Шесть маляров красят забор за 10 часов. За сколько часов покрасят тот же забор 15 маляров? Работников больше — времени меньше, зависимость обратная. Произведение постоянно: 6 · 10 = 15 · x, 60 = 15x, x = 4. Ответ: 4 часа. Вывод: при обратной зависимости одно из отношений записывают в обратном порядке либо приравнивают произведения.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Перепутан порядок чисел в отношении. Ошибка возникает, когда ученик читает условие «отношение а к b» невнимательно. Неправильно: отношение 3 к 12 равно 4. Правильно: 3 : 12 = 1/4.

Умножение «по строке» вместо умножения крест-накрест. Причина — механическое запоминание без опоры на названия членов. Неправильно: из x : 5 = 4 : 10 получают x · 5 = 4 · 10. Правильно: x · 10 = 5 · 4, x = 2.

Прямая пропорция для обратной зависимости. Ученик составляет пропорцию по шаблону, не проверив смысл задачи. Неправильно: 4 трактора вспахали поле за 9 дней, 6 тракторов — за x дней, 4 : 6 = 9 : x даёт 13,5 дня. Правильно: 4 · 9 = 6 · x, x = 6 дней.

Смешение разных единиц измерения. Отношение величин требует одинаковых единиц. Неправильно: 2 м : 50 см = 2/50. Правильно: 200 см : 50 см = 4 : 1.

Отсутствие проверки корня. Найденное число подставляют обратно редко, поэтому арифметическая описка остаётся незамеченной. Правильно: после ответа x = 6 в пропорции x : 4 = 9 : 6 считают 6 · 6 = 36 и 4 · 9 = 36.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Выпишите из условия две величины и все известные числа.
2. Приведите одноимённые величины к одной единице измерения.
3. Определите тип зависимости: одна величина растёт вместе с другой — прямая; растёт одна, убывает вторая — обратная.
4. Обозначьте искомое число буквой x.
5. Составьте пропорцию: при прямой зависимости оба отношения пишите в одинаковом порядке, при обратной — второе отношение переверните.
6. Примените основное свойство: перемножьте крайние и средние члены.
7. Решите полученное уравнение и найдите x.
8. Подставьте найденное значение в исходную пропорцию и сравните два произведения — они должны совпасть.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Крест-накрест» — рабочий образ основного свойства: соединяем члены по диагонали и перемножаем.
• «Крайние по краям, средние в середине» — в записи a : b = c : d крайние стоят с двух сторон равенства.
• «Больше — больше» = прямая, «больше — меньше» = обратная — короткий тест на тип зависимости.
• Формула для любого неизвестного: пропущенный член = произведение двух чисел, стоящих «по диагонали от пустого места», делённое на третье известное число.
• Контроль прямой зависимости: частное y : x одинаково в обеих строках; контроль обратной: одинаково произведение x · y.