Начала статистики: среднее, мода, медиана — тренажёр для 6 класса

Определение

Статистика — это раздел математики, который собирает числовые данные, упорядочивает их и описывает одним-двумя числами. В 6 классе такими описывающими числами служат среднее арифметическое, мода и медиана.

Числовой ряд — набор чисел, полученный из наблюдения или измерения: оценки за четверть, рост учеников, число проданных билетов по дням. Ряд может быть длинным, а человеку нужен короткий ответ на вопрос «сколько примерно?» или «сколько чаще всего?».

Три характеристики отвечают на три разных вопроса. Среднее арифметическое отвечает «сколько досталось бы каждому поровну», мода — «какое значение встречается чаще других», медиана — «какое значение стоит в середине упорядоченного ряда». Рядом с ними работают столбчатая диаграмма и график — способы показать данные картинкой.

Ключевые правила

Каждая статистическая характеристика вычисляется по своему строгому правилу, и подменять одно правило другим нельзя.

1. Среднее арифметическое = сумма всех чисел ряда : количество чисел. Ряд 6, 8, 10: (6 + 8 + 10) : 3 = 8.
2. Мода — значение, которое встречается в ряду чаще остальных. Ряд 2, 3, 3, 5: мода равна 3. Мод может быть две и больше, а если все числа различны — моды нет.
3. Медиана ищется только в упорядоченном ряду (по возрастанию). При нечётном количестве чисел медиана — среднее число ряда: в ряду 1, 4, 9 медиана 4.
4. Медиана при чётном количестве чисел равна среднему арифметическому двух средних: в ряду 2, 4, 6, 12 медиана (4 + 6) : 2 = 5.
5. Выброс — резко выделяющееся значение — сильно сдвигает среднее и почти не влияет на медиану. При наличии выброса «типичное» значение честнее описывает медиана.
6. Столбчатая диаграмма сравнивает величины: высота столбика равна значению по вертикальной шкале. График показывает изменение величины во времени: точки соединяют отрезками.

Разбор примеров

Пример 1. Среднее арифметическое. Ученик получил оценки 4, 5, 3, 5, 4, 3. Складываем: 4 + 5 + 3 + 5 + 4 + 3 = 24. Делим на количество оценок: 24 : 6 = 4. Вывод: средний балл равен 4 — столько получил бы ученик, если бы все шесть оценок были одинаковыми.

Пример 2. Мода. За день продали кроссовки размеров 38, 39, 39, 40, 41, 39, 42. Считаем повторы: 38 — один раз, 39 — три раза, 40 — один, 41 — один, 42 — один. Мода равна 39. Вывод: магазину нужно заказать больше именно 39 размера, среднее арифметическое (39,7) здесь бесполезно — обуви такого размера не бывает.

Пример 3. Медиана нечётного ряда. Время решения задачи (мин): 12, 7, 9, 15, 10. Упорядочиваем: 7, 9, 10, 12, 15. Чисел пять, среднее по счёту — третье, оно равно 10. Вывод: половина учеников справилась быстрее 10 минут, половина — медленнее.

Пример 4. Медиана чётного ряда. Рост четырёх девочек: 152, 148, 160, 155. Упорядочиваем: 148, 152, 155, 160. Средние числа — второе и третье: (152 + 155) : 2 = 153,5. Вывод: при чётном количестве данных медиана может не совпадать ни с одним числом ряда.

Пример 5. Выброс. Карманные деньги пяти друзей: 100, 110, 120, 130, 1000 рублей. Среднее: 1460 : 5 = 292 рубля. Медиана: 120 рублей. Вывод: среднее 292 больше денег четырёх друзей из пяти, поэтому типичную сумму показывает медиана.

Пример 6. Диаграмма. Столбчатая диаграмма посещаемости кружка: пн — 8, вт — 12, ср — 12, чт — 6, пт — 10. Самый высокий столбик читается как максимум, повтор высоты 12 даёт моду. Среднее: 48 : 5 = 9,6 человека. Вывод: по диаграмме находят все три характеристики, не возвращаясь к таблице.

Таблица

Типичные ошибки

Поиск медианы без упорядочивания. Ученик берёт число, стоящее посередине исходной записи. Причина — пропуск обязательного шага сортировки. Неправильно: в ряду 12, 7, 9 медиана 7. Правильно: 7, 9, 12 → медиана 9.

Деление на неверное количество. Сумму делят на количество различных значений, а не на количество всех чисел. Неправильно: для ряда 5, 5, 5, 2 среднее 12 : 2 = 6. Правильно: 17 : 4 = 4,25.

Смешение моды и наибольшего числа. Мода — самое частое, а не самое большое значение. Неправильно: в ряду 1, 1, 1, 9 мода 9. Правильно: мода 1, она встречается трижды.

Медиана чётного ряда как одно число. Берут только левое из двух средних чисел. Неправильно: в ряду 4, 6, 8, 10 медиана 6. Правильно: (6 + 8) : 2 = 7.

Чтение диаграммы «на глаз». Высоту столбика оценивают без опоры на шкалу и теряют цену деления. Правильно: сначала определить, сколько единиц в одной клетке, затем умножить на число клеток.

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите все данные ряда в строку, не пропуская повторы.
2. Посчитайте количество чисел — обозначьте его буквой n.
3. Для среднего: сложите все числа и разделите сумму на n.
4. Для моды: подсчитайте, сколько раз встречается каждое значение, выберите самое частое.
5. Для медианы: расположите числа по возрастанию.
6. При нечётном n возьмите число с номером (n + 1) : 2; при чётном n сложите два средних числа и разделите на 2.
7. Сравните полученные числа с исходным рядом: среднее и медиана обязаны лежать между наименьшим и наибольшим значениями, а мода — совпадать с одним из чисел ряда.

Как запомнить

Медиана — «межа», середина. Слово начинается так же, как «медиум» — тот, кто посередине. Перед поиском медианы звучит команда: «Сначала выстроились по росту — потом ищем среднего».

Мода — то, что носят чаще всего. Модный размер — самый частый, а не самый большой.

Среднее — «поровну». Формула короткая: сумма : количество. Проверка на разумность: среднее не бывает меньше самого маленького и больше самого большого числа ряда.

Диаграмма против графика. Столбики сравнивают («у кого больше»), линия рассказывает историю во времени («что было дальше»).