Рациональные числа: понятие и сравнение — тренажёр для 6 класса

Определение

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Такая запись объединяет в одно множество все числа, с которыми работает шестиклассник: натуральные, целые, обыкновенные и десятичные дроби, положительные и отрицательные.

Множество рациональных чисел делится на две группы. Целые рациональные числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные и нуль: −7, −1, 0, 5, 128. Дробные рациональные числа — числа, которые не являются целыми: $\frac{3}{4}$, −2,5, $-\frac{7}{9}$, 0,08.

Целое число тоже записывается дробью, поэтому оно рациональное: $6 = \frac{6}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Десятичная дробь переводится в обыкновенную: $0{,}7 = \frac{7}{10}$, $-1{,}25 = -\frac{5}{4}$.

Тема связывает арифметику дробей из 5 класса с отрицательными числами и открывает дорогу к действиям с ними, к координатной плоскости и к уравнениям в 7 классе.

Ключевые правила

Рациональные числа сравниваются по их положению на числовой прямой: из двух чисел больше то, которое лежит правее.

1. Числовая прямая — прямая с выбранным началом отсчёта (точка 0), направлением и единичным отрезком. Точка $A(-2{,}5)$ стоит левее нуля на 2,5 единицы.
2. Модуль числа $|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому $|{-4}| = 4$, $|4| = 4$, $|0| = 0$.
3. Любое положительное число больше любого отрицательного и больше нуля: $0{,}001 > -1000$.
4. Нуль больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного: $-\frac{1}{7} < 0 < \frac{1}{7}$.
5. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: $-3 > -8$, потому что $3 < 8$.
6. Противоположные числа отличаются только знаком, их модули равны: 12 и −12, $|12| = |-12| = 12$.
7. Обыкновенные и десятичные дроби перед сравнением приводят к одному виду — к общему знаменателю или к десятичной записи.

Разбор примеров

Пример 1. Сравнить −7 и 3. Число −7 лежит левее нуля, число 3 — правее. На прямой правее стоит 3, значит −7 < 3. Вывод: сравнивая числа с разными знаками, смотрим только на знак, модули не считаем.

Пример 2. Сравнить −4,6 и −4,2. Оба числа отрицательные, находим модули: $|-4{,}6| = 4{,}6$, $|-4{,}2| = 4{,}2$. Больше модуль у −4,6, значит эта точка дальше от нуля влево, и −4,6 < −4,2. Вывод: у отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число.

Пример 3. Сравнить $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{2}{3}$. Приводим модули к общему знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$. Модуль $\frac{9}{12}$ больше, поэтому $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{3}$. Вывод: дроби сначала уравнивают по знаменателю, знак учитывают в конце.

Пример 4. Найти $|-5{,}3| + |2|$. Модуль раскрываем отдельно у каждого числа: $|-5{,}3| = 5{,}3$, $|2| = 2$. Складываем: $5{,}3 + 2 = 7{,}3$. Вывод: знак «минус» под модулем исчезает, а действия выполняются уже с положительными числами.

Пример 5. Расставить в порядке возрастания: 0; −1,5; $\frac{1}{2}$; −0,25; 2. Сначала отрицательные по убыванию модуля: −1,5 (модуль 1,5), затем −0,25 (модуль 0,25). Дальше нуль, потом положительные: 0,5 и 2. Ответ: −1,5 < −0,25 < 0 < $\frac{1}{2}$ < 2. Вывод: порядок на прямой всегда идёт слева направо.

Таблица

Типичные ошибки

Сравнение отрицательных чисел «как положительных». Ученик видит 8 и 3 внутри записи и пишет −8 > −3, перенося привычку из натуральных чисел. Неправильно: −8 > −3. Правильно: −8 < −3, потому что точка −8 лежит левее.

Модуль с сохранённым минусом. Ошибка возникает, когда знак воспринимают как часть цифры, а не как указание направления. Неправильно: $|-6| = -6$. Правильно: $|-6| = 6$, ведь расстояние до нуля равно 6 единицам.

Сравнение дробей без общего знаменателя. Взгляд цепляется за числители или знаменатели по отдельности. Неправильно: $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{5}$ «потому что 2 > 5 наоборот». Правильно: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$, $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, модуль больше у $-\frac{1}{2}$, значит $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{5}$.

Нуль отнесён к отрицательным или к положительным. Нуль не имеет знака: он не больше и не меньше нуля. Неправильно: $0 < -0{,}5$. Правильно: $-0{,}5 < 0$.

Неверный масштаб на числовой прямой. Единичный отрезок делят на разное число частей, и точка −2,5 оказывается ближе к нулю, чем −1. Правильно: сначала отметить целые деления одинаковой длины, затем внутри них — доли.

Пошаговый алгоритм

1. Определи знак каждого числа: положительное, отрицательное или нуль.
2. Если знаки разные — сразу назови большим положительное число, сравнение закончено.
3. Если оба числа отрицательные, найди их модули.
4. Приведи модули к одному виду: к общему знаменателю или к десятичной записи.
5. Сравни модули как обычные положительные числа.
6. Переверни результат: больший модуль у отрицательного числа даёт меньшее число.
7. Запиши ответ знаком «<» или «>».
8. Проверь: отметь оба числа на числовой прямой и убедись, что большее стоит правее.

Как запомнить

Числовая прямая работает как термометр: −20 °C холоднее, чем −5 °C, поэтому −20 < −5. Такая картинка мгновенно снимает путаницу с отрицательными числами.

Короткие формулы-ориентиры: - «Правее — больше, левее — меньше». - «Модуль — это расстояние, а расстояние без минуса». - «У минусов всё наоборот: модуль больше — число меньше».

Слова-подсказки в заданиях: «возрастание» — идём слева направо по прямой, «убывание» — справа налево.