Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел — тренажёр для 6 класса

Определение

Рациональные числа — это числа, которые можно записать дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное; арифметические действия с ними изучаются в 6 классе как продолжение действий с целыми и дробными числами.

В множество рациональных чисел входят натуральные числа, нуль, отрицательные целые числа, обыкновенные и десятичные дроби с любым знаком. Число $-2{,}5$ рационально, потому что равно $-\frac{5}{2}$; число $7$ рационально, потому что равно $\frac{7}{1}$.

Главное отличие действий с рациональными числами от действий с натуральными — появление знака. Каждое вычисление распадается на две части: сначала определяют знак ответа, затем работают с модулями — расстояниями чисел от нуля.

Тема замыкает раздел «Рациональные числа» и служит фундаментом для решения уравнений, работы с координатной прямой и всей алгебры 7 класса.

Ключевые правила

Действия с рациональными числами выполняются по двум группам правил: для сложения-вычитания знак зависит от модулей слагаемых, для умножения-деления — только от количества минусов.

1. Сложение чисел с одинаковыми знаками: сложи модули, поставь перед результатом общий знак. Пример: $-3{,}5+(-1{,}5)=-(3{,}5+1{,}5)=-5$.
2. Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычти меньший, поставь знак числа с бо́льшим модулем. Пример: $-7+4=-(7-4)=-3$.
3. Вычитание: замени вычитание сложением с противоположным числом, $a-b=a+(-b)$. Пример: $5-(-2)=5+2=7$.
4. Правило знаков при умножении и делении: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Пример: $(-6)\cdot(-3)=18$, а $(-6):3=-2$.
5. Модули при умножении и делении перемножаются или делятся отдельно от знака: $(-0{,}4)\cdot 5 = -(0{,}4\cdot 5)=-2$.
6. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь: $-\frac{2}{5}:\frac{3}{4}=-\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=-\frac{8}{15}$.
7. Нуль: произведение с нулём равно нулю, деление на нуль невозможно. Запись $\frac{-7}{0}$ смысла не имеет.
8. Порядок действий в цепочках: сначала скобки, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.

Разбор примеров

Пример 1. $-8{,}4+3{,}6$. Знаки слагаемых разные, поэтому вычитаем модули: $8{,}4-3{,}6=4{,}8$. Больший модуль у числа $-8{,}4$, значит ответ отрицательный: $-4{,}8$. Вывод: при разных знаках работает вычитание модулей, а знак «побеждает» у большего по модулю.

Пример 2. $-\frac{2}{3}-\frac{5}{6}$. Вычитание заменяем сложением: $-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)$. Знаки одинаковые, приводим к общему знаменателю и складываем модули: $\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Ответ: $-1{,}5$. Вывод: два минуса подряд в сложении не «сокращаются», они дают ещё большее по модулю отрицательное число.

Пример 3. $(-1{,}2)\cdot(-0{,}5)\cdot(-4)$. Считаем модули: $1{,}2\cdot 0{,}5=0{,}6$, затем $0{,}6\cdot 4=2{,}4$. Минусов три — число нечётное, значит произведение отрицательное: $-2{,}4$. Вывод: в произведении нескольких множителей знак определяется чётностью количества минусов.

Пример 4. $-\frac{3}{4}:1{,}5$. Десятичную дробь переводим в обыкновенную: $1{,}5=\frac{3}{2}$. Деление заменяем умножением на обратное: $-\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$. Знаки разные — ответ отрицательный. Вывод: перед делением дроби приводят к одному виду.

Пример 5 (цепочка). $-5+12:(-4)-(-3)\cdot 2$. Первым выполняем деление: $12:(-4)=-3$. Затем умножение: $(-3)\cdot 2=-6$. Получаем $-5+(-3)-(-6)=-8+6=-2$. Вывод: в цепочке знак каждого промежуточного результата определяется отдельно, а порядок действий не меняется из-за минусов.

Таблица знаков и действий

Типичные ошибки

Перенос правила знаков на сложение. Ученик пишет $-4+(-5)=9$, рассуждая «минус на минус даёт плюс». Правило знаков относится только к умножению и делению. Неправильно: $-4+(-5)=9$. Правильно: $-4+(-5)=-9$.

Потеря знака при вычитании отрицательного. В записи $6-(-2)$ второй минус относится к самому числу, а не к действию. Неправильно: $6-(-2)=4$. Правильно: $6-(-2)=6+2=8$.

Вычитание модулей при одинаковых знаках. Ошибка возникает из-за привычки «раз есть минус — значит вычитаем». Неправильно: $-7+(-3)=-4$. Правильно: $-7+(-3)=-10$.

Неверный знак у результата при разных знаках слагаемых. Знак берут у первого числа, а не у числа с большим модулем. Неправильно: $-2+9=-7$. Правильно: $-2+9=7$.

Подсчёт минусов «на глаз» в длинном произведении. В выражении $(-2)\cdot(-3)\cdot(-1)\cdot(-5)$ минусов четыре, результат положительный: $30$. Ответ $-30$ появляется, когда множители считают невнимательно.

Пошаговый алгоритм

1. Определи вид действия: сложение, вычитание, умножение или деление.
2. Если действие — вычитание, замени его сложением с противоположным числом.
3. Для сложения сравни знаки слагаемых и выбери правило: одинаковые знаки — сложение модулей, разные — вычитание модулей.
4. Для умножения и деления посчитай количество минусов: чётное — плюс, нечётное — минус.
5. Выполни действие с модулями, не думая о знаке.
6. Припиши к полученному числу определённый ранее знак.
7. В цепочке вычислений повтори шаги 1–6 для каждого действия, соблюдая порядок: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
8. Проверь результат: прикинь знак ответа заново и оцени величину (например, сумма двух отрицательных чисел обязана быть отрицательной и больше каждого из них по модулю).

Как запомнить

«Минусы дружат в умножении, ссорятся в сложении» — короткая формула, отделяющая правило знаков от правил сложения.

Счёт минусов парами: в произведении вычёркивай минусы по два, каждая пара даёт плюс. Остался один — ответ отрицательный, не осталось ни одного — положительный.

Термометр помогает при сложении: $-7+4$ означает «было $-7$ градусов, потеплело на $4$» — стало $-3$.

Два минуса подряд = плюс работает только в записи вида $a-(-b)$: $10-(-4)=14$.

Ключевые слова-ориентиры: «модуль» — считаем без знака; «противоположное число» — меняем знак; «обратное число» — переворачиваем дробь.