Прямая пропорциональность и её график — тренажёр для 6 класса

Раздел 1 — Определение

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, которая задаётся формулой y = kx, где k — постоянное число, не равное нулю. Величина y называется зависимой переменной, x — независимой переменной, а число k — коэффициентом пропорциональности.

Смысл коэффициента прост: k показывает, во сколько раз y больше x, или сколько единиц y приходится на одну единицу x. Если килограмм конфет стоит 400 рублей, то стоимость y = 400x, и коэффициент 400 — это цена одного килограмма.

Главное свойство прямой пропорциональности: при увеличении x в несколько раз величина y увеличивается во столько же раз. Отношение y : x остаётся неизменным и всегда равно k.

Место темы в курсе 6 класса — первый шаг к понятию функции. Прямая пропорциональность связывает арифметические пропорции, изученные раньше, с координатной плоскостью и графиками, которые понадобятся в 7 классе для линейной функции y = kx + b.

Раздел 2 — Ключевые правила

Прямая пропорциональность подчиняется четырём правилам, которые работают для любого значения k, кроме нуля.

1. Формула всегда имеет вид y = kx — без свободного слагаемого. Зависимость y = 2x + 5 прямой пропорциональностью не является: при x = 0 получается y = 5, а не 0.
2. Коэффициент находится делением: k = y : x при любом x ≠ 0. Если известно, что при x = 4 значение y = 12, то k = 12 : 4 = 3, формула y = 3x.
3. График прямой пропорциональности — прямая линия, проходящая через начало координат — точку O(0; 0). Чтобы построить график, достаточно двух точек: O(0; 0) и любой второй, например при x = 1.
4. Знак k задаёт направление: при k > 0 прямая идёт из третьей четверти во первую (y растёт вместе с x), при k < 0 — из второй в четвёртую (y убывает при росте x).

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Таблица значений по формуле y = 3x. Подставляем x = −2; 0; 1; 4 и получаем y = −6; 0; 3; 12.

Каждое значение y втрое больше своего x. Вывод: таблица строится подстановкой удобных чисел, обязательно включая x = 0.

Пример 2. Построение графика y = 3x. Берём из таблицы две точки: O(0; 0) и A(1; 3). Отмечаем их на координатной плоскости и проводим через них прямую. Точка B(4; 12) ляжет на эту же прямую — это проверка. Вывод: третья точка нужна не для построения, а для контроля.

Пример 3. Нахождение k по двум точкам. График проходит через точки M(2; 10) и N(5; 25). Проверяем: 10 : 2 = 5 и 25 : 5 = 5. Отношения совпали, значит зависимость прямо пропорциональна и k = 5, формула y = 5x. Вывод: k находят делением ординаты на абсциссу; если у двух точек результаты разные — зависимость не прямо пропорциональная.

Пример 4. Практическая задача. Велосипедист едет со скоростью 12 км/ч. Путь s = 12t, где t — время в часах. За 2,5 часа он проедет s = 12 · 2,5 = 30 км. Обратный вопрос: за какое время он проедет 42 км? Решаем 12t = 42, откуда t = 3,5 ч. Вывод: коэффициент пропорциональности здесь — скорость, постоянная величина задачи.

Пример 5. Отрицательный коэффициент. Формула y = −2x даёт точки (0; 0), (1; −2), (−3; 6). Прямая проходит через вторую и четвёртую четверти: чем больше x, тем меньше y. Вывод: отрицательный k не отменяет пропорциональности, он меняет наклон прямой.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Ошибка «формула с добавкой». Ученик называет прямой пропорциональностью зависимость y = 5x − 2, потому что видит произведение 5x. Причина — невнимание к свободному слагаемому. Неправильно: y = 5x − 2 — прямая пропорциональность. Правильно: прямая пропорциональность только y = 5x, график второй зависимости не проходит через начало координат.

Ошибка «перевёрнутое деление». При поиске k по точке (4; 2) ученик считает k = 4 : 2 = 2. Причина — путаница абсциссы и ординаты. Правильно: k = y : x = 2 : 4 = 0,5, формула y = 0,5x.

Ошибка «график не через ноль». На чертеже прямая проводится приблизительно, мимо точки O. Причина — построение по одной точке «на глаз». Правильно: точка (0; 0) отмечается первой, она принадлежит графику всегда.

Ошибка «пропорциональность там, где её нет». Для точек (2; 6) и (4; 10) ученик пишет y = 3x. Причина — проверка только по одной точке. Правильно: 6 : 2 = 3, но 10 : 4 = 2,5 — отношения разные, значит формула y = kx не подходит.

Ошибка «k = 0». Запись y = 0x называют прямой пропорциональностью. Правильно: при k = 0 все значения y равны нулю, зависимости между величинами нет, и такая формула из определения исключена.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите, какая величина зависимая (y), а какая независимая (x).
2. Найдите коэффициент: разделите известное значение y на соответствующее x.
3. Запишите формулу вида y = kx с найденным числом k.
4. Составьте таблицу из трёх значений x, обязательно включив x = 0.
5. Вычислите y для каждого x подстановкой в формулу.
6. Отметьте точки на координатной плоскости и проведите через них прямую.
7. Проверьте результат: прямая проходит через (0; 0), а все отношения y : x в таблице равны k.

Раздел 7 — Как запомнить

Ключевая формула короткая: «игрек равен ка икс» — три символа, ничего лишнего. Появилось четвёртое слагаемое — пропорциональность закончилась.

Правило коэффициента запоминается фразой «ка — это игрек делить на икс»: сверху зависимая величина, снизу независимая. Порядок тот же, что в записи точки (x; y), только наоборот — и это исключение стоит проговорить вслух.

Смысл k держится в житейских словах-ориентирах: цена за штуку, скорость за час, масса одного метра. Все эти числа постоянны, поэтому график получается прямым.

График запоминается образом натянутой нити: один конец закреплён в начале координат, второй тянут вверх (k > 0) или вниз (k < 0). Нить не изгибается — прямая пропорциональность всегда даёт ровную линию.