Длина окружности и площадь круга — тренажёр для 6 класса

Раздел 1 — Определение

Длина окружности — это длина замкнутой линии, все точки которой удалены от центра на одно и то же расстояние; площадь круга — это площадь части плоскости, ограниченной этой линией. Окружность — сама линия, круг — линия вместе с её внутренней областью.

Радиус (r) — отрезок от центра до любой точки окружности. Диаметр (d) — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Диаметр вдвое длиннее радиуса: d = 2r, значит r = d : 2.

Отношение длины любой окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей — большой и маленькой. Это постоянное отношение обозначают греческой буквой π («пи») и в 6 классе берут приближённо: π ≈ 3,14 (иногда π ≈ 22/7). Число π бесконечное и непериодическое, поэтому в ответах ставят знак ≈.

Тема завершает изучение плоских фигур: до неё площади считали только у многоугольников по прямым отрезкам, здесь впервые появляется кривая линия и постоянная π, связывающая её с радиусом.

Раздел 2 — Ключевые правила

Длина окружности и площадь круга вычисляются только через радиус или диаметр — других данных для расчёта не требуется.

1. Длина окружности: C = 2πr, или через диаметр C = πd. Пример: r = 3 см → C ≈ 2 · 3,14 · 3 = 18,84 см.
2. Площадь круга: S = πr². В квадрат возводится только радиус, число π не возводится. Пример: r = 3 см → S ≈ 3,14 · 9 = 28,26 см².
3. Обратный переход от C к r: r = C : (2π). Пример: C = 12,56 см → r = 12,56 : 6,28 = 2 см.
4. Обратный переход от S к r: сначала r² = S : π, затем r — число, квадрат которого равен полученному. Пример: S = 50,24 см² → r² = 16 → r = 4 см.
5. Единицы измерения: длина окружности измеряется в см, м, км; площадь круга — в см², м², км². Смешивать нельзя.
6. Смысл π: увеличение радиуса в 2 раза увеличивает длину окружности в 2 раза, а площадь — в 4 раза, потому что радиус в формуле площади стоит во второй степени.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Радиус клумбы 5 м. Найти длину ограждения. C = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 (м). Ограждение идёт по самой линии окружности, поэтому нужна длина, а не площадь. Вывод: слова «забор», «обод», «ободок», «проволока по краю» указывают на формулу C = 2πr.

Пример 2. Диаметр тарелки 24 см. Найти площадь. Сначала радиус: r = 24 : 2 = 12 (см). Затем S = 3,14 · 12² = 3,14 · 144 = 452,16 (см²). Вывод: если дан диаметр, первым действием всегда делим его пополам — в обеих формулах работает радиус.

Пример 3. Длина окружности 43,96 см. Найти радиус и диаметр. Из C = 2πr следует r = C : (2π) = 43,96 : 6,28 = 7 (см), тогда d = 14 см. Вывод: обратная задача решается делением, число 2π ≈ 6,28 удобно считать одним множителем.

Пример 4. Площадь круга 113,04 см². Найти радиус. r² = 113,04 : 3,14 = 36, значит r = 6 см, так как 6 · 6 = 36. Вывод: из площади радиус получают в два шага — деление на π, затем извлечение квадратного корня подбором.

Пример 5. Колесо диаметром 0,7 м проехало 439,6 м. Сколько сделано оборотов? За один оборот колесо проходит длину своей окружности: C = 3,14 · 0,7 = 2,198 (м). Число оборотов: 439,6 : 2,198 ≈ 200. Вывод: путь колеса = длина окружности × число оборотов.

Пример 6. Кольцо между окружностями радиусов 10 см и 6 см. S = 3,14 · 10² − 3,14 · 6² = 314 − 113,04 = 200,96 (см²). Вывод: площадь кольца — разность площадей большого и малого кругов.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса. Ошибка возникает, когда в условии дан диаметр, а формула запомнена только с буквой r. Неправильно: d = 8 см, C = 2 · 3,14 · 8 = 50,24 см. Правильно: r = 4 см, C = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 см.

Возведение π в квадрат. В записи S = πr² показатель степени относится только к радиусу. Неправильно: (3,14 · 5)² = 246,49. Правильно: 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5.

Умножение радиуса на 2 вместо квадрата. Путаница возникает из-за похожих формул C = 2πr и S = πr². Неправильно: S = 3,14 · 2 · 6 = 37,68. Правильно: S = 3,14 · 36 = 113,04.

Неверные единицы. Площадь записывают в сантиметрах, а длину — в квадратных. Неправильно: S = 78,5 см. Правильно: S = 78,5 см².

Потеря второго шага при поиске радиуса по площади. После деления на π получается r², а не r. Неправильно: S = 78,5 → r = 25. Правильно: r² = 25 → r = 5 см.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите, что требуется: длина линии (C) или площадь области (S).
2. Выпишите данные и приведите их к одной единице измерения (все в см или все в м).
3. Найдите радиус: если дан диаметр, разделите его пополам.
4. Выберите формулу: C = 2πr для длины, S = πr² для площади.
5. Подставьте π ≈ 3,14 и выполните действия по порядку: сначала квадрат радиуса (для площади), затем умножение.
6. Запишите ответ с единицами: линейные — см, м; квадратные — см², м².
7. Проверьте результат прикидкой: длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра, площадь круга чуть меньше площади квадрата со стороной, равной диаметру.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Пи — как периметр»: буква π стоит там, где считают длину линии по кругу.
• «Квадратная площадь — квадратный радиус»: единицы в квадрате (см²) напоминают, что и r в квадрате.
• Число 6,28 = 2π держите как готовый множитель: C = 6,28 · r, r = C : 6,28.
• Проверка прикидкой: C ≈ 3d, S ≈ 3r².
• Опорная тройка: r → d = 2r → C = πd. Каждый следующий шаг — умножение.