Площадь треугольника и параллелограмма — тренажёр для 6 класса

Определение

Площадь — это величина, которая показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри плоской фигуры. Измеряют площадь в квадратных единицах: см², дм², м².

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Любую его сторону можно назвать основанием, а перпендикуляр, опущенный на это основание (или на его продолжение) из противоположной стороны, — высотой.

Треугольник связан с параллелограммом напрямую: два одинаковых треугольника, сложенных вместе, дают параллелограмм. Отсюда и «деление пополам» в формуле площади треугольника.

В курсе 6 класса площади параллелограмма и треугольника — база для площади трапеции и для любых составных фигур. Освоив две формулы, ученик считает площадь почти любого многоугольника, разбив его на части.

Ключевые правила

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = a × h.

1. Формула параллелограмма: S = a × h. Если основание 7 см, высота к нему 4 см, то S = 7 × 4 = 28 см².
2. Формула треугольника: S = (a × h) : 2. Основание 10 см, высота 3 см → S = 10 × 3 : 2 = 15 см².
3. Высота всегда перпендикулярна основанию. Наклонная сторона высотой не является, даже если она короче. Высоту на чертеже отмечают прямым углом.
4. Основание и высота — пара. Высота берётся именно к тому основанию, которое стоит в формуле. У треугольника три основания и три высоты — работают только «свои» пары.
5. Обратная задача для параллелограмма: h = S : a. Площадь 45 см², основание 9 см → h = 45 : 9 = 5 см.
6. Обратная задача для треугольника: h = 2S : a. Площадь 24 см², основание 8 см → h = 2 × 24 : 8 = 6 см.
7. Все длины — в одинаковых единицах. Основание 2 дм и высота 30 см сначала приводят к одному виду: 20 см и 30 см.

Разбор примеров

Пример 1. Параллелограмм: a = 12 см, h = 5 см. S = 12 × 5 = 60 см². В умножении участвуют только основание и высота к нему; длина наклонной стороны в формулу не входит вообще. Вывод: для площади параллелограмма достаточно двух чисел — основания и высоты.

Пример 2. Треугольник: a = 9 см, h = 6 см. S = 9 × 6 : 2 = 54 : 2 = 27 см². Прямоугольник со сторонами 9 и 6 имел бы площадь 54 см², а треугольник занимает ровно половину. Вывод: деление на 2 отражает то, что треугольник — половина параллелограмма.

Пример 3. Известна площадь параллелограмма 48 см², основание 8 см. Найти высоту. Из S = a × h следует h = S : a = 48 : 8 = 6 см. Проверка: 8 × 6 = 48 — совпало. Вывод: высота находится делением площади на основание.

Пример 4. Площадь треугольника 30 см², основание 12 см. Найти высоту. Сначала возвращаем «потерянную» половину: a × h = 2 × 30 = 60. Затем h = 60 : 12 = 5 см. Вывод: в треугольнике площадь сначала умножают на 2, и только потом делят на основание.

Пример 5. Составная фигура «дом»: прямоугольник 10 × 6 см и треугольник-крыша с основанием 10 см и высотой 4 см. Площадь прямоугольника: 10 × 6 = 60 см². Площадь треугольника: 10 × 4 : 2 = 20 см². Общая площадь: 60 + 20 = 80 см². Вывод: составную фигуру разбивают на части, площади частей складывают.

Пример 6. Из параллелограмма (a = 14 см, h = 5 см) вырезан треугольник с основанием 6 см и высотой 5 см. S параллелограмма = 14 × 5 = 70 см². S треугольника = 6 × 5 : 2 = 15 см². Оставшаяся площадь: 70 − 15 = 55 см². Вывод: если часть фигуры удалена, площади вычитают.

Таблица

Типичные ошибки

Умножение на наклонную сторону вместо высоты. Возникает потому, что у прямоугольника сторона и высота совпадают, и привычка переносится на параллелограмм. Неправильно: стороны 6 и 5, S = 30. Правильно: если высота к стороне 6 равна 4, то S = 6 × 4 = 24 см².

Потеря деления на 2 в треугольнике. Формулы параллелограмма и треугольника похожи, и «: 2» выпадает при быстром счёте. Неправильно: a = 7, h = 4, S = 28. Правильно: S = 7 × 4 : 2 = 14 см².

Несоответствие основания и высоты. Ученик берёт основание AB, а высоту, проведённую к стороне BC. Неправильно: a = 10, h = 4 (высота к другой стороне). Правильно: к основанию 10 берут высоту, отмеченную прямым углом именно на нём.

Забытое умножение на 2 при поиске высоты треугольника. Обратная формула воспринимается как «площадь разделить на основание». Неправильно: S = 18, a = 6 → h = 3. Правильно: h = 2 × 18 : 6 = 6 см.

Смешение единиц измерения. Данные в задаче даны в разных мерах. Неправильно: 3 дм × 20 см = 60. Правильно: 30 см × 20 см = 600 см².

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте задачу и определите вид фигуры: параллелограмм, треугольник или составная фигура.
2. Переведите все длины в одинаковые единицы измерения.
3. Отметьте на чертеже основание и высоту к нему, поставьте знак прямого угла.
4. Выберите формулу: S = a × h или S = (a × h) : 2.
5. Для составной фигуры разбейте её на части и посчитайте площадь каждой отдельно.
6. Сложите площади частей или вычтите площадь выреза.
7. Если ищете высоту, выразите её: h = S : a либо h = 2S : a.
8. Запишите ответ с квадратными единицами (см², м²).
9. Проверьте: подставьте найденное число обратно в формулу площади — результат должен совпасть с условием.

Как запомнить

• «Основание × высота» — короткая формула параллелограмма; треугольник добавляет одно действие: «и пополам».
• Треугольник — половина параллелограмма. Достроив треугольник до параллелограмма, легко объяснить деление на 2.
• Высота — это «отвес». Она падает строго вниз на основание под прямым углом, как груз на верёвке.
• Обратный ход: в треугольнике сначала «верни двойку». 2S : a — двойка идёт первой.
• Единицы: см × см = см². Если в ответе нет квадратных единиц, решение не закончено.