Координатная плоскость — тренажёр для 6 класса

Определение

Координатная плоскость — это плоскость с двумя перпендикулярными числовыми осями, которая позволяет задать положение любой точки парой чисел. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой O.

Горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось *Ox*), вертикальная — осью ординат (ось *Oy*). На обеих осях выбирают одинаковый единичный отрезок, а стрелки показывают направление возрастания чисел: вправо и вверх.

Каждой точке плоскости соответствует пара чисел (x; y) — её координаты. Первое число x называют абсциссой, второе y — ординатой. Порядок чисел строгий: точка (3; 5) и точка (5; 3) — разные точки.

Тема продолжает координатную прямую из 6 класса: там точка задавалась одним числом, здесь — двумя. Прямоугольную систему координат ввёл французский математик Рене Декарт, поэтому её называют декартовой.

Ключевые правила

Координаты точки записываются всегда в порядке «сначала x, потом y», в круглых скобках, через точку с запятой.

1. Начало координат имеет координаты (0; 0). Отсчёт любой точки начинается именно отсюда.
2. Абсцисса x показывает сдвиг по горизонтали, ордината y — по вертикали. Для точки A(4; −2): 4 шага вправо, 2 шага вниз.
3. Оси делят плоскость на четыре координатные четверти, нумерация идёт против часовой стрелки от правой верхней. I четверть — справа вверху, II — слева вверху, III — слева внизу, IV — справа внизу.
4. Знаки координат определяются четвертью: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −). Точка (−7; 1) лежит во II четверти.
5. Точки на осях не принадлежат ни одной четверти. У точки на оси *Ox* ордината равна нулю: (5; 0). У точки на оси *Oy* нулю равна абсцисса: (0; −3).
6. Расстояние между точками с одинаковой ординатой равно модулю разности абсцисс: d = |x₂ − x₁|. Для одинаковых абсцисс d = |y₂ − y₁|.

Разбор примеров

Пример 1. Построить точку B(−3; 5). От начала координат отсчитываем 3 единицы влево (знак минус у абсциссы), затем 5 единиц вверх. Ставим точку на пересечении. Вывод: отрицательная абсцисса всегда уводит влево, положительная ордината — вверх.

Пример 2. Определить координаты точки по рисунку. От точки мысленно опускаем перпендикуляр на ось *Ox* — попали в число −2, это абсцисса. Проводим перпендикуляр на ось *Oy* — попали в 4, это ордината. Записываем: C(−2; 4). Вывод: чтение координат — это два перпендикуляра к осям.

Пример 3. Определить четверть точки D(6; −1) без чертежа. Абсцисса положительная — точка справа от оси *Oy*. Ордината отрицательная — точка ниже оси *Ox*. Справа и внизу — IV четверть. Вывод: четверть определяется парой знаков, чертёж не обязателен.

Пример 4. Найти расстояние между M(−4; 2) и N(5; 2). Ординаты равны, значит точки лежат на одной горизонтальной прямой. Считаем: d = |5 − (−4)| = |9| = 9 единичных отрезков. Вывод: при равных ординатах вычитаем абсциссы и берём модуль.

Пример 5. Найти расстояние между K(3; −6) и L(3; 4). Абсциссы равны — точки на одной вертикали. d = |4 − (−6)| = 10. Вывод: правило работает симметрично для вертикали.

Пример 6. Найти расстояние от точки P(−5; 3) до осей. До оси *Oy* расстояние равно модулю абсциссы: |−5| = 5. До оси *Ox* — модулю ординаты: |3| = 3. Вывод: расстояние до оси задаёт «чужая» координата.

Таблица

Типичные ошибки

Перестановка координат. Возникает из-за привычки читать чертёж снизу вверх. Неправильно: точку (2; 5) отмечают, отсчитав 2 вверх и 5 вправо. Правильно: 2 вправо по оси *Ox*, затем 5 вверх.

Потеря знака при отсчёте. Ученик видит число 3 и идёт вправо, не глядя на минус. Неправильно: (−3; 1) ставят в I четверть. Правильно: минус у абсциссы — движение влево, точка во II четверти.

Отнесение точек оси к четверти. Причина — представление, что вся плоскость поделена без остатка. Неправильно: «(0; 4) лежит в I четверти». Правильно: точка лежит на оси *Oy* и не принадлежит ни одной четверти.

Вычитание координат без модуля. Расстояние получается отрицательным. Неправильно: между (5; 1) и (−2; 1) расстояние −7. Правильно: |−2 − 5| = 7, длина не бывает отрицательной.

Разные единичные отрезки на осях. Клетки по *Ox* берут по одной, по *Oy* — по две. Точка смещается, ответ по рисунку читается неверно. Правильно: единичный отрезок одинаков на обеих осях.

Пошаговый алгоритм

1. Начертите две перпендикулярные прямые, точку пересечения обозначьте O.
2. Подпишите оси: горизонтальную — x, вертикальную — y, поставьте стрелки вправо и вверх.
3. Отметьте единичный отрезок одинаковой длины на обеих осях и подпишите числа.
4. Для построения точки прочитайте первую координату и отсчитайте её по оси *Ox*: плюс — вправо, минус — влево.
5. От полученного места отсчитайте вторую координату по вертикали: плюс — вверх, минус — вниз.
6. Поставьте точку, подпишите её буквой и координатами в скобках.
7. Для чтения координат опустите из точки перпендикуляры на обе оси и запишите числа в порядке (x; y).
8. Для расстояния сравните координаты: совпадают ординаты — вычитайте абсциссы, совпадают абсциссы — вычитайте ординаты, результат возьмите по модулю.
9. Проверьте ответ: сверьте знаки координат с номером четверти и пересчитайте клетки на чертеже.

Как запомнить

• «Сначала вдоль, потом ввысь» — порядок координат: сначала шаг по горизонтали, потом по вертикали.
• Адрес в доме: абсцисса — номер подъезда, ордината — этаж. Сначала находят подъезд.
• Буква «х» похожа на ножницы, лежащие на столе, — ось *Ox* горизонтальна.
• Четверти нумеруются против часовой стрелки, старт — правый верхний угол, как обход циферблата в обратную сторону.
• Знаки минус «включаются» в левой половине (для x) и в нижней (для y): левый низ — двойной минус, III четверть.
• Формула расстояния на одной линии: «большая координата минус меньшая», результат всегда положителен.