Задачи на движение и работу — тренажёр для 5 класса

Что такое задача на движение и задача на работу

Задача на движение — это задача, в которой кто-то или что-то перемещается: пешеход, велосипедист, поезд, лодка. В ней всегда участвуют три величины:

• расстояние (путь) S — сколько пройдено, измеряется в км, м;
• скорость v — сколько расстояния проходят за одну единицу времени (км/ч, м/с);
• время t — сколько длилось движение (ч, мин, с).

Задача на работу устроена точно так же, только вместо расстояния — объём работы (число деталей, литров воды, страниц), вместо скорости — производительность (сколько работы делают за час), вместо времени — время работы. Поэтому оба типа задач решаются одинаковыми приёмами.

Формула S = v × t и три способа её применить

Основное правило: расстояние равно скорости, умноженной на время.

Из одной формулы получаются три:

1. S = v × t — ищем расстояние;
2. v = S : t — ищем скорость;
3. t = S : v — ищем время.

Запомнить связь помогает «треугольник»: сверху S, снизу рядом v и t. Закрываем пальцем то, что ищем: закрыли S — остаётся v × t; закрыли v — остаётся S над t, значит деление.

Правило единиц: скорость, время и расстояние должны быть согласованы. Если скорость в км/ч, то время — в часах, а расстояние — в километрах. 30 минут в такой задаче — это 0,5 часа, а 15 минут — четверть часа.

Для работы формула та же: A = p × t, где A — объём работы, p — производительность. Отсюда p = A : t и t = A : p.

Как работает движение навстречу, вдогонку и в одном направлении

Когда движутся двое, вводят новую величину — скорость сближения (если расстояние между ними уменьшается) или скорость удаления (если увеличивается).

Главная мысль: в задаче на двоих участников почти всегда сначала находят общую скорость, а потом работают с ней как с обычной скоростью одного объекта.

Совместная работа: складываем производительности

Если двое работают вместе, их производительности складываются: p общая = p₁ + p₂. Дальше время находят делением: t = A : p общая.

Есть два вида таких задач.

• Работа задана числом. Например, деталей 120 штук — тогда всё считается в штуках в час.
• Работа не названа. Тогда весь объём принимают за 1 (одна вся работа), а производительность каждого — дробь. Если мастер выполняет заказ за 6 часов, за 1 час он делает 1/6 часть заказа.

Примеры с разбором

Пример 1. Три величины. Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние он проехал? Сколько времени ему понадобится на 60 км с той же скоростью? S = 12 × 3 = 36 (км). Второй вопрос: t = 60 : 12 = 5 (ч).

Пример 2. Навстречу. Расстояние между городами 240 км. Из них навстречу выехали автомобили со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Скорость сближения: 70 + 50 = 120 (км/ч). Время: 240 : 120 = 2 (ч). Проверка: 70 × 2 + 50 × 2 = 140 + 100 = 240 (км) — сошлось.

Пример 3. Вдогонку. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч, а на 45 км позади него мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста? Скорость сближения: 60 − 15 = 45 (км/ч). Время: 45 : 45 = 1 (ч).

Пример 4. Уравнение. Из двух посёлков, между которыми 300 км, выехали навстречу два автобуса и встретились через 2 часа. Скорость первого 60 км/ч. Какова скорость второго? Пусть скорость второго x км/ч. Тогда (60 + x) × 2 = 300. Значит, 60 + x = 300 : 2 = 150, откуда x = 150 − 60 = 90 (км/ч).

Пример 5. Совместная работа. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе? Весь бассейн — 1. За час первая наполняет 1/6, вторая 1/3 = 2/6. Вместе: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна в час. Время: 1 : 1/2 = 2 (ч). Ответ проверяем логикой: вдвоём должно получиться быстрее, чем у самой быстрой трубы (быстрее 3 часов) — верно.

Типичные ошибки

• Смешивают единицы. Скорость в км/ч, а время в минутах — и получается неверный ответ. Ошибка возникает от невнимания к словам «40 минут». Переводите минуты в часы заранее.
• Складывают скорости при движении вдогонку. Кажется, что «двое движутся — значит плюс». Но если оба идут в одну сторону, расстояние сокращается только за счёт разницы скоростей, поэтому нужно вычитание.
• Складывают время работы. «Один за 6 часов, другой за 3, вместе за 9» — грубая ошибка: вместе всегда быстрее, чем поодиночке. Складывать можно только производительности, а не времена.
• Делят не в том порядке. Пишут v = t : S вместо v = S : t. Помогает треугольник и проверка по смыслу: скорость — это «расстояние на каждый час», значит расстояние делим на часы.
• Не отвечают на вопрос задачи. Нашли скорость сближения и остановились, хотя спрашивали время. Всегда перечитывайте вопрос перед записью ответа.

Алгоритм действий и подсказки

1. Прочитайте задачу дважды и определите тип: движение одного объекта, движение двоих (навстречу / вдогонку / в одну сторону) или работа.
2. Выпишите известные величины столбиком или в таблицу «S — v — t» (для работы: «A — p — t»), отметив, что нужно найти.
3. Приведите единицы к одному виду: минуты — в часы, метры — в километры.
4. Если участников двое, найдите общую скорость: сумму при сближении и удалении в разные стороны, разность при движении в одну сторону.
5. Если работа не выражена числом, примите её за 1 и найдите доли за час.
6. Составьте план из действий или уравнение с буквой x для неизвестной величины.
7. Вычислите и проверьте ответ по смыслу: время до встречи не может быть больше времени поодиночке, совместная работа всегда быстрее одиночной, скорость пешехода не бывает 200 км/ч.

Подсказки для запоминания: - «Навстречу — сумма, вдогонку — разность» — короткая рифма для выбора действия. - Треугольник S / v · t решает вопрос «умножать или делить». - Работа — это то же движение: производительность = скорость, объём работы = расстояние. - Слово «вместе» почти всегда означает «сложи скорости или производительности».