Обыкновенные дроби — тренажёр для 5 класса

Что такое обыкновенная дробь и как её читать

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n — натуральные числа, а черта дроби заменяет знак деления. Дробь показывает, что целое разделили на равные части и взяли несколько из них.

• Знаменатель (число под чертой) показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель (число над чертой) показывает, сколько таких частей взяли.

Например, 3/7 — торт разрезали на 7 одинаковых кусков и взяли 3 куска.

Читают дробь так: числитель — количественным числительным (один, два, три), знаменатель — порядковым (вторая, третья, пятая), причём знаменатель согласуется с числителем:

• 1/2 — «одна вторая» (или «половина»)
• 1/3 — «одна третья» (или «треть»)
• 2/5 — «две пятых»
• 7/12 — «семь двенадцатых»

Правильная дробь — числитель меньше знаменателя (3/8), она меньше единицы. Неправильная дробь — числитель больше или равен знаменателю (9/4, 5/5), она больше или равна единице. Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа: 9/4 = 2 1/4, потому что 9 : 4 = 2 (остаток 1).

Основное свойство дроби и приведение к общему знаменателю

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная данной.

2/3 = 2·5 / 3·5 = 10/15 — величина не изменилась, изменилась только «нарезка» целого.

Приведение к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковым знаменателем. Число, на которое умножают числитель и знаменатель, называют дополнительным множителем.

Как найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это НОК знаменателей:

1. Проверить, делится ли больший знаменатель на меньший. Если да — больший и есть общий.
2. Если не делится, попробовать произведение знаменателей (всегда работает, но число может быть большим).
3. Точный способ: перебрать кратные большего числа (12, 24, 36…) и найти первое, которое делится на второй знаменатель.

Пример: привести 5/6 и 7/8 к общему знаменателю. Кратные 8: 8, 16, 24 — делится на 6. НОЗ = 24. Дополнительные множители: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3. Получаем 20/24 и 21/24.

Правила сложения и вычитания дробей

С одинаковыми знаменателями: складывают (вычитают) числители, знаменатель оставляют прежним. a/c + b/c = (a + b)/c; a/c − b/c = (a − b)/c

С разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю, затем действуют по правилу для одинаковых знаменателей. Результат по возможности сокращают и выделяют целую часть, если дробь неправильная.

Примеры с разбором

Пример 1. 2/3 + 4/15 15 делится на 3, поэтому НОЗ = 15. Дополнительный множитель к первой дроби: 15 : 3 = 5, значит 2/3 = 10/15. Складываем: 10/15 + 4/15 = 14/15.

Пример 2. 1/6 + 3/8 Кратные 8: 8, 16, 24, и 24 делится на 6. НОЗ = 24. Множители: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3. Получаем 4/24 + 9/24 = 13/24. Сократить нельзя — ответ 13/24.

Пример 3. 5/6 − 3/4 НОЗ = 12. Множители: 12 : 6 = 2 и 12 : 4 = 3. Получаем 10/12 − 9/12 = 1/12.

Пример 4. 3/4 + 5/6 НОЗ = 12: 9/12 + 10/12 = 19/12. Дробь неправильная, выделяем целую часть: 19 : 12 = 1 (остаток 7), ответ 1 7/12.

Пример 5. 1/2 − 2/7 Числа 2 и 7 не делятся друг на друга и не имеют общих делителей, берём произведение: НОЗ = 14. Получаем 7/14 − 4/14 = 3/14.

Таблица: как выбрать общий знаменатель

Типичные ошибки

• Складывают знаменатели: 1/2 + 1/3 = 2/5. Ошибка от привычки складывать всё подряд. Знаменатель — это «название» частей, а не количество; половинки и трети складывать нельзя, пока они не станут одинаковыми частями.
• Меняют только знаменатель: пишут 2/3 = 2/12. Забыт дополнительный множитель для числителя — дробь стала другой по величине.
• Умножают на разные числа числитель и знаменатель: 3/4 = 6/16. Основное свойство требует одного и того же множителя.
• Берут слишком большой знаменатель: для 4/6 и 5/8 берут 48 вместо 24. Ответ верный, но числа громоздкие и сокращать труднее.
• Не доводят ответ до конца: оставляют 6/8 вместо 3/4 или 15/4 вместо 3 3/4.

Алгоритм действий и подсказки

1. Посмотреть на знаменатели: одинаковые они или разные.
2. Если разные — найти НОЗ (проверить делимость, затем кратные, в крайнем случае произведение).
3. Найти дополнительные множители делением НОЗ на каждый знаменатель.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель.
5. Сложить или вычесть числители, знаменатель переписать.
6. Сократить дробь и, если она неправильная, выделить целую часть.

Подсказки для запоминания:

• «Знаменатель знаменует, как называются части; числитель числит, сколько их взяли». Складываем только то, что называется одинаково.
• Дополнительный множитель удобно писать маленькой цифрой над дробью — так его не забудешь применить к числителю.
• Проверка «на глаз»: 5/6 почти целое, 1/8 совсем мало, значит сумма чуть меньше 1 — если получилось 6/14, ответ точно неверный.
• Чем меньше знаменатель, тем крупнее кусок: 1/4 больше, чем 1/10, хотя 4 меньше 10.