Смешанные числа: сложение и вычитание — тренажёр для 5 класса

Что такое смешанное число

Смешанное число — это запись, в которой рядом стоят целая часть и правильная дробь. Например: 3 1/2 («три целых одна вторая»), 5 3/4, 1 2/7.

В записи 3 1/2 число 3 — целая часть, дробь 1/2 — дробная часть. Дробная часть всегда правильная: её числитель меньше знаменателя.

Смешанное число появляется тогда, когда целого не хватает ровно: если разрезать 2 пиццы на 4 части каждую и съесть 5 кусков, съедено 5/4 пиццы, то есть 1 1/4 пиццы — одна целая и ещё четверть.

Читают смешанное число так: сначала целую часть со словом «целых», потом дробь. 4 2/5 — «четыре целых две пятых». 1 1/3 — «одна целая одна третья».

Между смешанным числом и неправильной дробью (числитель больше знаменателя или равен ему) есть прямая связь: это две записи одного и того же числа. 7/2 = 3 1/2.

Ключевые правила перевода

Перевод смешанного числа в неправильную дробь:

1. Умножь целую часть на знаменатель.
2. Прибавь числитель — получишь новый числитель.
3. Знаменатель оставь прежним.

Формула: a b/c = (a · c + b)/c.

Пример: 3 1/2 = (3 · 2 + 1)/2 = 7/2.

Перевод неправильной дроби в смешанное число:

1. Раздели числитель на знаменатель с остатком.
2. Неполное частное — целая часть.
3. Остаток — числитель, делитель — знаменатель.

Пример: 23/5 → 23 : 5 = 4 (остаток 3) → 4 3/5.

Если остаток равен нулю, дробь равна целому числу: 18/6 = 3.

Сложение и вычитание: главные правила

Одинаковые знаменатели. Складывают отдельно целые части и отдельно дробные:

2 3/7 + 4 2/7 = (2 + 4) + (3/7 + 2/7) = 6 5/7.

Вычитают так же — по частям:

8 5/9 − 3 2/9 = (8 − 3) + (5/9 − 2/9) = 5 3/9 = 5 1/3.

Если дробная сумма получилась неправильной, выделяют целую часть и прибавляют к целым:

1 4/5 + 2 3/5 = 3 + 7/5 = 3 + 1 2/5 = 4 2/5.

Если вычитаемая дробь больше — «занимают» единицу у целой части, превращая её в дробь со знаменателем задачи:

6 1/4 − 2 3/4: берём 6 1/4 = 5 + 1 + 1/4 = 5 5/4. Теперь 5 5/4 − 2 3/4 = 3 2/4 = 3 1/2.

Разные знаменатели. Сначала дробные части приводят к общему знаменателю, потом действуют по правилам выше.

Вычитание из целого числа: 7 − 2 5/8. Превращаем 7 в 6 8/8, получаем 6 8/8 − 2 5/8 = 4 3/8.

Примеры с разбором

Пример 1. 3 2/9 + 5 4/9

Знаменатели одинаковые. Целые: 3 + 5 = 8. Дробные: 2/9 + 4/9 = 6/9. Итог 8 6/9. Сокращаем на 3: 8 2/3.

Пример 2. 2 5/6 + 3 3/6

Целые: 2 + 3 = 5. Дробные: 5/6 + 3/6 = 8/6 — дробь неправильная. Выделяем целую часть: 8/6 = 1 2/6 = 1 1/3. Прибавляем к 5: 6 1/3.

Пример 3. 5 1/6 − 2 5/6

1/6 меньше 5/6, «занимаем» единицу: 5 1/6 = 4 7/6 (потому что 1 = 6/6, а 6/6 + 1/6 = 7/6). Считаем: целые 4 − 2 = 2, дробные 7/6 − 5/6 = 2/6 = 1/3. Ответ: 2 1/3.

Пример 4. 4 1/3 + 2 1/4

Общий знаменатель 12. 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12. Целые: 4 + 2 = 6. Дробные: 4/12 + 3/12 = 7/12. Ответ: 6 7/12.

Пример 5 (задача). Турист прошёл в первый день 5 3/8 км, во второй — на 1 5/8 км меньше. Сколько всего?

Второй день: 5 3/8 − 1 5/8. Занимаем единицу: 5 3/8 = 4 11/8. Тогда 4 11/8 − 1 5/8 = 3 6/8 = 3 3/4 км. Всего: 5 3/8 + 3 3/4. Общий знаменатель 8: 3/4 = 6/8. Целые 5 + 3 = 8, дробные 3/8 + 6/8 = 9/8 = 1 1/8. Итог: 8 + 1 1/8 = 9 1/8 км.

Таблица: какой способ выбрать

Типичные ошибки

• Складывают числители и знаменатели: 1/4 + 1/4 = 2/8. Ошибка от привычки «складывать всё подряд». Знаменатель показывает размер доли — он не меняется.
• Забывают привести к общему знаменателю: 1 1/2 + 2 1/3 = 3 2/5. Складывать можно только одинаковые доли: половинки с третями напрямую не складываются.
• При вычитании не занимают единицу и «переворачивают» разность: 3 1/5 − 1 4/5 = 2 3/5 (вычли 1/5 из 4/5). Правильно занять единицу: 3 1/5 = 2 6/5, ответ 1 2/5.
• Оставляют в ответе неправильную дробь: 5 7/6. Нужно выделить целую часть: 6 1/6.
• Не сокращают ответ: 8 6/9 вместо 8 2/3. Ответ считается неполным.
• Теряют целую часть при переводе: 3 1/2 = 4/2 (умножили только на знаменатель или забыли прибавить числитель).

Алгоритм решения

1. Прочитай выражение, определи знаменатели дробных частей.
2. Если знаменатели разные — найди наименьший общий знаменатель и приведи дроби к нему.
3. При сложении: сложи целые, сложи числители дробных частей.
4. При вычитании: сравни дробные части. Если верхняя меньше — займи единицу у целой части и добавь к дроби n/n.
5. Выполни действия отдельно с целыми и отдельно с дробями.
6. Если получилась неправильная дробь — выдели целую часть и прибавь к целым.
7. Сократи дробную часть, если можно.
8. Запиши ответ и проверь: правдоподобен ли он по величине (2 1/2 + 3 1/2 не может быть меньше 5).

Для задач добавь шаги: выпиши данные, определи действие («на … больше» — сложение, «на … меньше» — вычитание, «сколько всего» — сложение, «сколько осталось» — вычитание), реши, запиши ответ с наименованием.

Как запомнить

• «Целые к целым, дроби к дробям» — главный девиз действий со смешанными числами.
• Знаменатель — это имя доли. Пятые складываются с пятыми, как яблоки с яблоками. Нельзя сложить 3 пятых и 2 третьих, не «переименовав» их.
• «Занять единицу» = разменять монету. Единица меняется на n/n: при знаменателе 8 — на 8/8, при 5 — на 5/5. Как размен рубля на монеты.
• Перевод в неправильную дробь: «низ × бок + верх» — знаменатель умножить на целую часть, прибавить числитель.
• Обратный перевод — деление с остатком: частное сверху (целая часть), остаток в числитель.
• Проверка прикидкой: 4 7/8 ≈ 5, 2 1/9 ≈ 2, значит сумма около 7. Если вышло 12 или 3 — ищи ошибку.