Умножение и деление обыкновенных дробей — тренажёр для 5 класса

Что такое умножение и деление обыкновенных дробей

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где a — числитель, b — знаменатель (b ≠ 0). Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое, числитель — сколько таких долей взяли.

Умножение дробей — действие, при котором находят «часть от части». Например, 1/2 · 1/3 — это половина от трети, то есть одна шестая целого. Результат умножения двух правильных дробей всегда меньше каждого множителя — это нормально, ведь мы берём часть от части.

Деление дробей — действие, обратное умножению: найти, сколько раз одна дробь помещается в другой. Например, 1 : 1/4 = 4, потому что четвертинка укладывается в целом ровно 4 раза.

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1. Для дроби a/b обратной будет дробь b/a: числитель и знаменатель меняются местами. Проверка: 3/5 · 5/3 = 15/15 = 1.

Ключевые правила

Правило умножения: числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

a/b · c/d = (a · c)/(b · d)

Правило деления: деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю.

a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)

Дополнительные соглашения, без которых не обойтись:

• Натуральное число n записывают как дробь n/1. Тогда 4 · 2/7 = 4/1 · 2/7 = 8/7.
• Смешанное число перед умножением или делением обязательно переводят в неправильную дробь: 2 1/5 = (2 · 5 + 1)/5 = 11/5.
• Обратное число к натуральному n — это 1/n; обратное к 1/n — это n. Обратного числа у нуля нет: на 0 делить нельзя.
• Сокращать выгодно до умножения: любой числитель можно сократить с любым знаменателем. Это уменьшает числа и избавляет от громоздких вычислений.

Примеры с разбором

Пример 1. 3/7 · 2/5

Перемножаем числители: 3 · 2 = 6. Перемножаем знаменатели: 7 · 5 = 35. Ответ: 6/35. Сокращать нечего — у 6 и 35 нет общих делителей.

Пример 2. 5/8 · 4/15 (сокращение до умножения)

Записываем как одну дробь: (5 · 4)/(8 · 15). Сокращаем 5 и 15 на 5: остаются 1 и 3. Сокращаем 4 и 8 на 4: остаются 1 и 2. Получаем (1 · 1)/(2 · 3) = 1/6. Если бы считали «в лоб», вышло бы 20/120 — тот же ответ, но сокращать труднее.

Пример 3. 2 1/3 · 1 1/2 (смешанные числа)

Переводим: 2 1/3 = 7/3, 1 1/2 = 3/2. Умножаем: (7 · 3)/(3 · 2). Сокращаем тройки: 7/2 = 3 1/2. Ошибочный путь «2 · 1 и 1/3 · 1/2» даёт 2 1/6 — неверно.

Пример 4. 4/9 : 8/15 (деление дробей)

Обратная к делителю 8/15 — дробь 15/8. Заменяем деление: 4/9 · 15/8 = (4 · 15)/(9 · 8). Сокращаем 4 и 8 на 4 → 1 и 2; сокращаем 15 и 9 на 3 → 5 и 3. Итог: (1 · 5)/(3 · 2) = 5/6.

Пример 5. 3 3/4 : 5

Переводим 3 3/4 = 15/4, число 5 = 5/1, обратное к нему 1/5. Считаем: 15/4 · 1/5 = (15 · 1)/(4 · 5). Сокращаем 15 и 5 на 5: (3 · 1)/(4 · 1) = 3/4.

Таблица: сравнение действий с дробями

Типичные ошибки

1. Приводят к общему знаменателю при умножении. Привычка из темы «сложение дробей» переносится на новое действие. При умножении общий знаменатель не нужен вообще.
2. Переворачивают не ту дробь при делении. Меняют местами числитель и знаменатель у делимого. Запомнить: переворачивается только второе число — делитель.
3. Умножают смешанные числа по частям: целое на целое, дробь на дробь. Это даёт неверный ответ, потому что при умножении сумм (2 + 1/3)(1 + 1/2) появляются ещё два слагаемых. Спасает перевод в неправильную дробь.
4. Сокращают числитель с числителем. Сокращать можно только числитель одной дроби со знаменателем — своим или другой дроби, ведь сокращение — деление и делимого, и делителя.
5. Забывают сократить ответ или выделить целую часть. Ответ 18/24 считается недоделанным: нужно 3/4. Ответ 7/2 обычно записывают как 3 1/2.

Алгоритм действий

1. Посмотри, есть ли смешанные числа и натуральные числа. Переведи смешанные в неправильные дроби, натуральное n запиши как n/1.
2. Если действие — деление, замени его умножением на обратную дробь: перевернул делитель — знак «:» стал «·».
3. Запиши одно дробное выражение: произведение числителей сверху, произведение знаменателей снизу. Пока не считай!
4. Сократи любые пары «числитель — знаменатель» крест-накрест и по вертикали.
5. Перемножь то, что осталось.
6. Сократи результат, если ещё возможно, и выдели целую часть у неправильной дроби.
7. Прикинь ответ: при умножении на правильную дробь число уменьшается, при делении на правильную дробь — увеличивается.

Как запомнить

• «Умножаю — иду прямо, делю — переворачиваю»: при умножении верх на верх и низ на низ, при делении второй множитель встаёт «вверх ногами».
• «Дели — не тронь первую»: делимое остаётся без изменений, кувырок делает только делитель.
• «Обратное — это отражение в зеркале»: 4/9 и 9/4 смотрят друг на друга; их произведение всегда 1.
• «Сначала сокращай, потом умножай» — числа станут маленькими, и ошибок в таблице умножения будет меньше.
• Проверка деления: умножь ответ на делитель, должно получиться делимое. Например, 5/6 · 8/15 = 4/9 — деление в примере 4 выполнено верно.
• Смысловая опора: 1/2 от 1/2 пиццы — это 1/4 пиццы, значит 1/2 · 1/2 = 1/4. А сколько половинок в 3 пиццах? Шесть: 3 : 1/2 = 6.