Умножение и деление десятичных дробей — тренажёр для 5 класса

Что такое умножение и деление десятичных дробей

Десятичная дробь — это дробь, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее, а записывается она с помощью запятой: 3,45 — это 3 целых и 45 сотых.

Цифры после запятой называются десятичными знаками. В числе 0,027 три десятичных знака, в числе 5,4 — один.

Умножать и делить десятичные дроби можно почти так же, как натуральные числа. Разница только в одном: нужно правильно поставить запятую в ответе. Все действия сводятся к трём приёмам:

• умножение «столбиком» с подсчётом знаков после запятой;
• деление уголком, где запятая ставится в момент перехода к дробной части;
• перенос запятой при работе с 10, 100, 1000.

Ключевые правила

Правило умножения. Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:

1. Не обращая внимания на запятые, перемножить числа как натуральные.
2. Сосчитать, сколько всего знаков после запятой в обоих множителях вместе.
3. Отделить запятой в произведении столько же цифр справа.

Если цифр в результате не хватает — слева дописывают нули: 0,2 · 0,3 = 6 → нужно 2 знака → 0,06.

Правило деления на натуральное число. Делят уголком, как обычные числа. Как только заканчивается целая часть делимого, в частном ставят запятую и продолжают деление. Если делимое разделилось не нацело, к остатку приписывают нули и делят дальше.

Правило деления на десятичную дробь. Делить на дробь напрямую нельзя — нужно превратить делитель в целое число. Для этого в делителе и в делимом переносят запятую вправо на одинаковое число знаков (столько, сколько знаков после запятой в делителе). Частное от этого не меняется.

Правило умножения и деления на 10, 100, 1000.

Количество нулей = количество знаков переноса. Если цифр не хватает, дописывают нули: 7,2 · 1000 = 7200; 5 : 100 = 0,05.

Примеры с разбором

Пример 1. 4,7 · 2,3

Перемножаем без запятых: 47 · 23 = 1081. Считаем знаки: в 4,7 — один, в 2,3 — один, всего два. Отделяем справа две цифры: 10,81. Проверка прикидкой: 4,7 ≈ 5, 2,3 ≈ 2, ответ около 10 — сходится.

Пример 2. 0,08 · 0,5

Без запятых: 8 · 5 = 40. Знаков: 2 + 1 = 3. В числе 40 всего две цифры, дописываем нуль слева: 0,040 = 0,04. Нуль в конце дробной части можно отбросить.

Пример 3. 17,4 : 4

Делим уголком. 17 : 4 = 4, остаток 1. Целая часть делимого закончилась — ставим в частном запятую. Сносим 4, получаем 14 : 4 = 3, остаток 2. Приписываем нуль: 20 : 4 = 5. Ответ: 4,35. Проверка: 4,35 · 4 = 17,4.

Пример 4. 6,75 : 0,15

В делителе два знака после запятой. Переносим запятую вправо на два знака в обоих числах: 675 : 15. Делим: 675 : 15 = 45. Ответ целый — это нормально.

Пример 5. Задача. Ткань стоит 240,5 рубля за метр. Сколько стоят 3,4 метра?

Умножаем: 2405 · 34 = 81 770. Знаков после запятой: 1 + 1 = 2. Получаем 817,70 = 817,7 рубля. Прикидка: 240 · 3,4 ≈ 816 — ответ правдоподобен.

Пример 6. Задача. Машина проехала 189 км за 4,5 часа. Найдите скорость.

Скорость = 189 : 4,5. В делителе один знак — переносим запятую вправо на один знак у обоих чисел: 1890 : 45 = 42 км/ч.

Типичные ошибки

• Выравнивают запятые при умножении столбиком. Так делают при сложении, и привычка переносится. При умножении запятые не выравнивают: числа записывают по правому краю, а запятую ставят только в готовом ответе.
• Считают знаки только у одного множителя. В 1,2 · 0,04 нужно отделить 1 + 2 = 3 знака: 48 → 0,048. Забыв про второй множитель, получают 0,48 — ответ в 10 раз больше.
• Не дописывают нули слева. 0,3 · 0,2 = 6, но три цифры отделить не из чего. Правильно: 0,06, а не 0,6.
• Переносят запятую только в делителе. 8,4 : 0,4 — если превратить делитель в 4, но оставить 8,4, получится 2,1 вместо 21. Перенос обязателен в обоих числах на одинаковое число знаков.
• Путают направление переноса при делении на 10. Деление уменьшает число, значит, запятая идёт влево. Умножение увеличивает — вправо.
• Забывают поставить запятую в частном. При делении уголком запятую ставят ровно в тот момент, когда закончилась целая часть делимого, даже если дальше идут нули.

Алгоритм действий

Умножение:

1. Убери мысленно запятые, перемножь числа как натуральные.
2. Сложи количество знаков после запятой у обоих множителей.
3. Отсчитай в произведении столько же цифр справа налево и поставь запятую.
4. Если цифр не хватило — допиши нули слева.
5. Прикинь ответ округлением и сравни.

Деление:

1. Посмотри на делитель. Если он целый — сразу дели уголком.
2. Если делитель дробный — сосчитай знаки после запятой и перенеси запятую вправо на столько знаков в обоих числах.
3. Дели уголком; запятую в частном ставь после того, как использована последняя цифра целой части делимого.
4. Остаток не выбрасывай: приписывай нули и продолжай деление.
5. Проверь: частное · делитель = делимое.

На 10, 100, 1000: сосчитай нули → перенеси запятую на столько знаков (умножение — вправо, деление — влево) → допиши нули, если цифр не хватает.

Как запомнить

• «Сколько знаков было — столько и осталось»: у множителей 1 + 2 = 3 знака, значит, и в ответе 3.
• Стрелка от нулей: 10 → одна стрелка, 100 → две, 1000 → три. Умножаем — стрелка вправо (число растёт), делим — влево (число уменьшается).
• «Делитель должен стать целым» — главная фраза для деления на дробь. Запятая «уходит» из делителя, но столько же шагов делает и делимое.
• Прикидка спасает от грубых ошибок: 4,9 · 3,1 ≈ 5 · 3 = 15, поэтому ответ 15,19 верен, а 1,519 или 151,9 — нет.
• Нули в конце дробной части не меняют число: 0,40 = 0,4, а 40 и 4 — разные числа. Отбрасывать нули можно только после запятой и только справа.