Признаки делимости и разложение на множители — тренажёр для 5 класса

Что такое делимость, простые и составные числа

Число a делится на число b, если при делении a на b получается натуральное число, а остаток равен нулю. Тогда b называют делителем числа a, а a — кратным числа b.

Пример: 24 : 6 = 4, остаток 0 → 24 делится на 6; 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

У каждого натурального числа есть как минимум один делитель — единица, и почти всегда само число.

Простое число — натуральное число, у которого ровно два различных делителя: 1 и само число. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Составное число — натуральное число, у которого больше двух делителей. Примеры: 4 (делители 1, 2, 4), 12 (делители 1, 2, 3, 4, 6, 12).

Число 1 не является ни простым, ни составным: у него всего один делитель. Число 2 — единственное чётное простое число.

Признаки делимости — правила, которые позволяют узнать, делится ли число, не выполняя само деление.

Ключевые правила делимости

Связи между признаками: - Если число делится на 10, то оно делится и на 2, и на 5. - Если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3 (потому что 9 делится на 3). - Обратное неверно: 12 делится на 3, но не делится на 9. - Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на 6.

Разложение на простые множители — запись составного числа в виде произведения только простых чисел: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Такое разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — самое большое число, на которое делятся оба. Наименьшее общее кратное (НОК) — самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из данных.

Примеры с разбором

Пример 1. Проверить 4 590 на делимость на 2, 3, 5, 9, 10. Последняя цифра 0 → делится на 2, на 5 и на 10. Сумма цифр: 4 + 5 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9 → число делится на 9, а значит и на 3. Вывод: 4 590 делится на все пять чисел.

Пример 2. Простое или составное число 91? Проверяем простые делители по порядку: на 2 не делится (нечётное), на 3 не делится (9 + 1 = 10), на 5 не делится, на 7 — да: 91 : 7 = 13. Значит, у 91 есть делители 1, 7, 13, 91 → число составное.

Пример 3. Разложить 360 на простые множители. Делим «лесенкой» на наименьшие простые числа: 360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Ответ: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Пример 4. Найти НОД(48; 60). 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Общие множители: 2, 2 и 3. НОД = 2 · 2 · 3 = 12. Проверка: 48 : 12 = 4, 60 : 12 = 5 — оба деления без остатка.

Пример 5. Найти НОК(48; 60). Берём разложение первого числа целиком и добавляем недостающие множители второго. В 48 есть 2·2·2·2·3; в 60 не хватает множителя 5. НОК = 48 · 5 = 240. Проверка: 240 : 48 = 5, 240 : 60 = 4.

Типичные ошибки

• Проверяют делимость на 3 по последней цифре. Ошибка возникает по аналогии с признаками для 2, 5 и 10. Для 3 и 9 работает только сумма цифр: 13 оканчивается на 3, но на 3 не делится.
• Считают 1 простым числом. У простого числа должно быть ровно два делителя, а у единицы он один.
• Считают 2 составным, потому что оно чётное. Чётность не мешает быть простым: у 2 делители только 1 и 2.
• В разложении оставляют составные множители: 36 = 4 · 9. Это верное равенство, но не разложение на простые. Нужно продолжить: 4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3, значит 36 = 2 · 2 · 3 · 3.
• Путают НОД и НОК. НОД всегда не больше меньшего из чисел, НОК всегда не меньше большего. Если получился НОД больше самих чисел — расчёт неверен.

Алгоритм действий

Проверка делимости: 1. Посмотреть на последнюю цифру → сделать вывод про 2, 5, 10. 2. Сложить все цифры числа → сделать вывод про 3 и 9. 3. Если нужна делимость на 6 — проверить одновременно 2 и 3.

Разложение на простые множители: 1. Записать число, справа провести вертикальную черту. 2. Найти наименьший простой делитель (проверять 2, 3, 5, 7, 11 …), записать справа от черты. 3. Частное записать под числом и повторять шаг 2, пока не получится 1. 4. Перемножить все числа справа от черты — это и есть разложение.

Поиск НОД и НОК: 1. Разложить оба числа на простые множители. 2. Для НОД выписать множители, входящие в оба разложения (каждый столько раз, сколько он встречается в обоих), и перемножить. 3. Для НОК взять разложение одного числа и дописать множители второго, которых не хватает; перемножить. 4. Проверить: оба числа должны делиться на НОД; НОК должно делиться на оба числа.

Как запомнить

• «Хвостик числа» отвечает за 2, 5 и 10, «сумма цифр» — за 3 и 9. Две группы признаков — два разных места, куда смотреть.
• Девятка «строже» тройки: всё, что прошло проверку на 9, автоматически проходит и на 3.
• Простые числа до 30 стоит выучить наизусть как считалку: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• НОД — Делитель, он «дробит», становится меньше. НОК — Кратное, оно «копит», становится больше.
• Полезная проверка ответа: НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b. Для 48 и 60: 12 · 240 = 2 880 = 48 · 60.