Площадь и периметр прямоугольника — тренажёр для 5 класса

Прямоугольник, его периметр и площадь

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые (по 90°). Противоположные стороны прямоугольника равны. Одну сторону называют длиной (обозначают *a*), соседнюю — шириной (обозначают *b*).

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, всё, что верно для прямоугольника, верно и для квадрата, только в формулах *a* и *b* совпадают.

Периметр — сумма длин всех сторон фигуры. Обозначается буквой *P*. Периметр измеряют в единицах длины: мм, см, дм, м, км. Наглядно: периметр — это длина забора вокруг участка.

Площадь — величина, которая показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Обозначается буквой *S*. Площадь измеряют в квадратных единицах: мм², см², дм², м², км². Наглядно: площадь — это количество плитки, которой выложен пол.

Ключевые формулы и правила

Правила работы с формулами:

• Обе стороны обязательно выражают в одинаковых единицах: нельзя умножать сантиметры на метры.
• Ответ для периметра записывают в единицах длины, для площади — в квадратных единицах.
• Полупериметр (P : 2) равен сумме длины и ширины: a + b = P : 2. Это ключ ко многим задачам.

Единицы площади получаются из квадрата со стороной в 1 единицу длины. Так как сторона увеличивается в 10 раз, площадь — в 10 · 10 = 100 раз.

Соседние единицы площади отличаются в 100 раз (а не в 10, как единицы длины).

Примеры с разбором

Пример 1. Периметр и площадь по двум сторонам. Стороны прямоугольника 8 см и 5 см. P = 2 · (8 + 5) = 2 · 13 = 26 см. S = 8 · 5 = 40 см². Периметр — в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах.

Пример 2. Квадрат. Сторона квадрата 9 дм. P = 4 · 9 = 36 дм. S = 9 · 9 = 81 дм². Переведём площадь в см²: 1 дм² = 100 см², значит 81 дм² = 81 · 100 = 8100 см².

Пример 3. Сторона по известной площади. Площадь прямоугольника 72 см², ширина 6 см. Найти длину и периметр. Из S = a · b получаем a = S : b = 72 : 6 = 12 см. P = 2 · (12 + 6) = 36 см.

Пример 4. Сторона по известному периметру. Периметр прямоугольника 34 м, одна сторона 12 м. Найти площадь. 1. Полупериметр: 34 : 2 = 17 м — это сумма длины и ширины. 2. Вторая сторона: 17 − 12 = 5 м. 3. S = 12 · 5 = 60 м².

Пример 5. Задача с разными единицами. Комната имеет размеры 4 м и 250 см. Сколько это квадратных метров? Приводим к одним единицам: 250 см = 2,5 м... в 5 классе удобнее взять дециметры: 4 м = 40 дм, 250 см = 25 дм. S = 40 · 25 = 1000 дм² = 1000 : 100 = 10 м².

Типичные ошибки

• Путают периметр и площадь. Причина: обе величины «про размер фигуры». Проверка: если в ответе единицы без квадрата — это периметр (обход по краю), если со «квадратиком» — площадь (заполнение внутри).
• Забывают умножить сумму сторон на 2. Записывают P = a + b. Причина: в формуле видна только пара сторон. Помните: сторон четыре, каждая длина встречается дважды.
• Переводят единицы площади в 10 раз вместо 100. Пишут 1 м² = 100 см². Причина: перенос правила из единиц длины. Квадрат со стороной 1 м вмещает 100 · 100 = 10 000 квадратиков по 1 см².
• Умножают величины в разных единицах. Например, 3 м · 40 см = 120. Такой результат бессмысленен: сначала приведите обе стороны к одной единице.
• При поиске стороны по периметру делят периметр на 2 и считают это стороной. P : 2 — это сумма двух соседних сторон, из неё ещё нужно вычесть известную сторону.

Алгоритм решения задачи

1. Прочитайте условие и определите, что дано: стороны, периметр, площадь.
2. Сделайте чертёж прямоугольника и подпишите известные величины.
3. Проверьте единицы измерения: если они разные — приведите к одной.
4. Выберите формулу: P = 2 · (a + b) или S = a · b (для квадрата P = 4a, S = a · a).
5. Если ищете сторону:
6. - по площади — делите: b = S : a;
7. - по периметру — сначала найдите полупериметр P : 2, потом вычтите известную сторону.
8. Выполните вычисления и запишите ответ с правильной единицей: длина — см, м; площадь — см², м².
9. Проверьте разумность: площадь квадрата со стороной 3 см не может равняться 100 см².

Как запомнить

• Периметр — «по краю», площадь — «поверхность». Обе пары слов начинаются одинаково: «пери-» — вокруг (как в слове «периферия»).
• Квадратные единицы — квадратные шаги. Длина: 10, 10, 10. Площадь: 100, 100, 100.
• Формула-стишок: «Ширину и длину сложи, дважды взять не забыл — вот и весь периметр». Для площади: «умножил длину на ширину — получил площадь».
• Проверка «по клеточкам»: нарисуйте прямоугольник 3 × 4 клетки. Обойдите по границе — 14 клеточных отрезков, это периметр. Сосчитайте клетки внутри — 12, это площадь. Числа разные, и это нормально.
• Мостик 1 м² = 10 000 см² запоминают как «четыре нуля — метр в квадрате», а 1 га = 10 000 м² — «поле сто на сто».