Нахождение доли числа и числа по его доле — тренажёр для 4 класса

Что такое доля числа

Доля — это одна из равных частей целого. Если разрезать пирог на 4 одинаковых куска, то каждый кусок — это одна четвёртая доля пирога. Записывают так: 1/4.

В записи 1/4 нижнее число (знаменатель) показывает, на сколько равных частей разделили целое. Верхнее число (числитель) показывает, сколько таких частей взяли.

• 1/2 — половина (целое разделили на 2 части, взяли 1)
• 1/3 — треть (разделили на 3, взяли 1)
• 1/4 — четверть (разделили на 4, взяли 1)
• 3/5 — разделили на 5 частей, взяли 3 такие части

Запись вида 3/5 называется дробь. Дробь — это несколько долей.

Главное условие: части обязательно должны быть равными. Если яблоко разломили на кусок побольше и кусок поменьше — это не половинки.

Ключевые правила

Есть три главных действия, и все они опираются на деление и умножение.

Правило 1. Найти одну долю числа — раздели. Чтобы найти 1/5 от 30, нужно 30 : 5 = 6.

Правило 2. Найти несколько долей числа — раздели, потом умножь. Чтобы найти 3/5 от 30: сначала 30 : 5 = 6 (это одна доля), потом 6 · 3 = 18. Коротко: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Правило 3. Найти число по его доле — умножь. Если 1/5 числа равна 6, то всё число: 6 · 5 = 30. Если 3/5 числа равны 18, действуем в два шага: 18 : 3 = 6 (одна доля), 6 · 5 = 30 (всё число). Коротко: делим на числитель, умножаем на знаменатель.

Ещё одно правило — сравнение долей одного целого: чем больше знаменатель, тем меньше доля. 1/8 меньше, чем 1/4, потому что торт на 8 человек делится на кусочки мельче, чем на 4. А дроби с одинаковым знаменателем сравнивают по числителю: 3/7 меньше 5/7, потому что пять одинаковых кусочков больше трёх.

Примеры с разбором

Пример 1. Одна доля. В библиотеке 48 книг. Четвёртая часть — детские. Сколько детских книг? Знаменатель 4 значит: все книги разделили на 4 равные группы. 48 : 4 = 12. Ответ: 12 книг.

Пример 2. Несколько долей. Длина ленты 56 см. Отрезали 3/8 ленты. Сколько сантиметров отрезали? Шаг 1: одна доля 56 : 8 = 7 (см). Шаг 2: три доли 7 · 3 = 21 (см). Ответ: 21 см. Проверка: 21 меньше 56 — значит, ответ разумный.

Пример 3. Число по одной доле. Маша прочитала 9 страниц — это 1/6 всей книги. Сколько страниц в книге? Одна доля равна 9, а таких долей всего 6: 9 · 6 = 54. Ответ: 54 страницы.

Пример 4. Число по нескольким долям. Турист прошёл 24 км — это 2/5 всего пути. Каков весь путь? Шаг 1: одна доля 24 : 2 = 12 (км). Шаг 2: весь путь 12 · 5 = 60 (км). Ответ: 60 км. Проверка: 60 : 5 · 2 = 24 — сошлось.

Пример 5. Задача с остатком. В коробке 36 конфет. Съели 1/3. Сколько конфет осталось? 36 : 3 = 12 (съели), 36 − 12 = 24 (осталось). Второй способ: осталось 2/3, значит 36 : 3 · 2 = 24. Ответы совпали.

Сравнение двух типов задач

Типичные ошибки

• Путают числитель и знаменатель. Делят на 3 вместо 4 в дроби 3/4. Причина: не проговаривают смысл записи. Нижнее число всегда отвечает на вопрос «на сколько частей делили».
• Забывают второй шаг. Находят 24 : 6 = 4 и пишут в ответ 4, хотя спрашивали 5/6. Причина: спешка. Если числитель не 1 — действий всегда два.
• Меняют местами умножение и деление в обратной задаче. Видят «1/4 числа равна 8» и делят 8 : 4. Причина: привычка всегда делить. Проверка по смыслу: целое больше своей части, значит 8 · 4 = 32.
• Считают, что 1/10 больше 1/5, потому что 10 больше 5. Причина: перенос правила сравнения обычных чисел. Помогает рисунок: полоска на 10 частей — кусочки уже.
• Делят на неравные части. В задаче «разделили ленту на 3 части» ученик берёт любые части. Доли — только равные.

Алгоритм решения

1. Прочитай задачу и найди дробь, о которой идёт речь.
2. Определи, что дано: целое число или только его часть.
3. Если дано целое — ищем долю: раздели на знаменатель, умножь на числитель.
4. Если дана часть — ищем целое: раздели на числитель, умножь на знаменатель.
5. Запиши действия по порядку с наименованиями (кг, см, шт.).
6. Проверь: часть должна быть меньше целого, целое — больше части.
7. Если спрашивают про остаток, вычти найденную часть из целого.

Как запомнить

• «Знаменатель знает, на сколько делить» — оба слова начинаются со «зн».
• «Вниз — вниз»: нижнее число дроби связано с делением (деление «уменьшает»), верхнее — с умножением.
• Правило качелей: ищешь часть — ответ поедет вниз, станет меньше; ищешь целое — ответ поедет вверх, станет больше.
• Пицца-помощник: представь пиццу на столько кусков, сколько в знаменателе. Чем больше гостей — тем меньше кусок. Это подсказывает, что 1/12 меньше 1/6.
• Проверка наоборот: нашёл целое — сразу найди от него нужную долю. Получилось исходное число — решение верное.