Площадь прямоугольника и квадрата — тренажёр для 3 класса

Что такое площадь

Площадь — это величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости, то есть какой размер у её поверхности.

Представь лист бумаги в клетку. Ты нарисовал на нём прямоугольник, и внутри него поместилось 12 клеточек. Значит, площадь этого прямоугольника — 12 клеточек. Площадь всегда измеряется в квадратных единицах — маленьких квадратиках, которыми мы «замащиваем» фигуру, как плитками пол в ванной.

Не путай площадь с периметром. Периметр — это длина всей границы фигуры (если обойти её по краю). Площадь — это то, что внутри, вся «начинка» фигуры.

• Периметр комнаты нужен, чтобы купить плинтус вдоль стен.
• Площадь комнаты нужна, чтобы купить ковёр или плитку на пол.

Единицы площади получаются из единиц длины. Если сторона квадратика 1 см, то его площадь — 1 квадратный сантиметр, записывают так: 1 см². Маленькая двойка сверху означает «квадратный».

Основные единицы площади:

• 1 мм² — квадрат со стороной 1 мм (совсем крошечный, как точка от карандаша);
• 1 см² — квадрат со стороной 1 см (примерно ноготь на мизинце);
• 1 дм² — квадрат со стороной 1 дм = 10 см (примерно ладонь взрослого);
• 1 м² — квадрат со стороной 1 м (в нём поместятся два первоклассника);
• 1 км² — квадрат со стороной 1 км (большой район города).

Как вычислить площадь: главные правила

Чтобы найти площадь прямоугольника, не обязательно считать все клетки по одной. Есть формула — короткая запись правила с буквами.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину:

S = a · b

Здесь S — площадь (от слова «площадь» по-латински), a — длина, b — ширина.

Почему так? Если длина 5 см, а ширина 3 см, то в первом ряду помещается 5 квадратиков по 1 см², а таких рядов — 3. Значит, всего 5 · 3 = 15 квадратиков, то есть 15 см².

У квадрата все стороны равны, поэтому длина и ширина — одно и то же число. Формула площади квадрата:

S = a · a

Три правила, которые нужно соблюдать всегда:

1. Обе стороны должны быть выражены в одинаковых единицах. Нельзя умножать сантиметры на метры.
2. В ответе единица обязательно квадратная: см², дм², м².
3. Умножать можно в любом порядке: 5 · 3 и 3 · 5 дадут один результат.

Примеры с разбором

Пример 1. Длина прямоугольника 8 см, ширина 4 см. Найти площадь.

Обе стороны в сантиметрах — можно умножать. S = 8 · 4 = 32. Ответ: 32 см².

Пример 2. Сторона квадрата 6 дм. Найти площадь.

У квадрата обе стороны по 6 дм. S = 6 · 6 = 36. Ответ: 36 дм².

Пример 3. Длина комнаты 5 м, ширина 3 м. Хватит ли ковра площадью 20 м²?

Считаем площадь пола: S = 5 · 3 = 15 (м²). Сравниваем: 15 м² меньше 20 м², ковра хватит, ещё и останется 5 м².

Пример 4. Площадь прямоугольника 24 см², длина 6 см. Найти ширину.

Здесь работаем «наоборот». Раз S = a · b, то b = S : a. Считаем: 24 : 6 = 4. Ответ: ширина 4 см. Проверка: 6 · 4 = 24 см² — верно.

Пример 5. Длина прямоугольника 2 дм, ширина 5 см. Найти площадь.

Единицы разные — сначала приводим к одинаковым. 2 дм = 20 см. Теперь S = 20 · 5 = 100 (см²). Ответ: 100 см².

Сравнение: площадь и периметр

Типичные ошибки

• Путают площадь с периметром. Ученик видит стороны 6 и 4 и складывает вместо умножения. Ошибка возникает потому, что обе задачи выглядят похоже. Ориентир: если спрашивают «сколько места внутри» — умножаем.
• Забывают квадратную единицу. Пишут «32 см» вместо «32 см²». Из-за этого ответ означает совсем другую величину — длину, а не площадь.
• Умножают разные единицы. Видят «3 м и 40 см» и сразу перемножают. Сначала нужно перевести: 3 м = 300 см, и только потом умножать.
• У квадрата умножают сторону на 4. Это формула периметра. У квадрата площадь — сторона на саму себя: 5 · 5 = 25, а не 20.
• В обратной задаче делят неправильно. Если известны площадь и сторона, нужно площадь разделить на сторону, а не наоборот. Проверить легко: подставь найденное число обратно в формулу.

Алгоритм решения задачи на площадь

1. Прочитай задачу и определи, что спрашивают: площадь (сколько внутри) или периметр (длина границы).
2. Сделай рисунок прямоугольника и подпиши на сторонах известные числа.
3. Проверь единицы измерения. Если они разные — переведи в одинаковые.
4. Выбери формулу: S = a · b для прямоугольника, S = a · a для квадрата.
5. Подставь числа и выполни умножение.
6. Запиши ответ с квадратной единицей: см², дм², м².
7. Проверь: раздели площадь на одну сторону — должна получиться вторая сторона.

Как запомнить

• «Площадь — плитка»: оба слова начинаются на «пл». Площадь считаем плитками-квадратиками, поэтому единицы квадратные.
• «Периметр — по краю»: тоже на «пе». Идём пешком вокруг фигуры.
• Маленькая двойка сверху — это две стороны, которые перемножили. Умножил два числа — поставь двойку в ответе.
• Проверка ладонью: 1 дм² примерно как ладонь. Если получилась площадь тетрадного листа в 5 см², сразу видно — ошибка, лист гораздо больше.
• Квадрат — «одинаковый близнец»: у него обе стороны равны, поэтому число умножается само на себя: 7 · 7, 9 · 9.
• Таблица умножения — главный помощник: чем быстрее её вспоминаешь, тем быстрее находишь площадь.