Векторы: сложение, вычитание, умножение на число — тренажёр для 9 класса

Определение

Вектор — это направленный отрезок, для которого указано, какая точка считается началом, а какая концом; обозначается $\overline{AB}$ (A — начало, B — конец) или одной малой буквой $\vec{a}$. Длиной (модулем) вектора называют длину этого отрезка: $|\overline{AB}| = AB$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ — вектор, у которого начало совпадает с концом ($\overline{AA}$); его длина равна нулю, а направление считается произвольным. Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины; равные векторы можно откладывать от любой точки плоскости, поэтому вектор не привязан к одному месту.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность делится на два случая: сонаправленность ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположная направленность ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению.

Тема открывает раздел «Векторы» курса 9 класса и служит фундаментом для метода координат, скалярного произведения и доказательства теорем о средней линии, медианах и трапеции.

Ключевые правила

Операции над векторами подчиняются четырём правилам построения и трём алгебраическим законам.

1. Правило треугольника. Для любых трёх точек A, B, C верно $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$. Пример: перемещение из A в B, затем из B в C равносильно одному перемещению из A в C.
2. Правило параллелограмма. Если векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ отложены от общей точки A и не коллинеарны, то их сумма — диагональ $\overline{AC}$ построенного параллелограмма ABCD.
3. Правило вычитания. Разность $\vec{a} - \vec{b}$ равна сумме $\vec{a} + (-\vec{b})$; при общем начале $\overline{OA} - \overline{OB} = \overline{BA}$ — вектор идёт от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
4. Умножение на число. Произведение $k\vec{a}$ — вектор длины $|k| \cdot |\vec{a}|$, сонаправленный с $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направленный при $k < 0$; при $k = 0$ или $\vec{a} = \vec{0}$ получается $\vec{0}$.
5. Законы. Переместительный: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$; сочетательный: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$; распределительные: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ и $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$.
6. Признак коллинеарности. Ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число $k$ такое, что $\vec{b} = k\vec{a}$. В координатах: $\vec{a}(x_1; y_1) \parallel \vec{b}(x_2; y_2) \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.

Разбор примеров

Пример 1. Сумма по треугольнику. В треугольнике ABC найти $\overline{AB} + \overline{BC}$. Конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго, поэтому цепочка замыкается: $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$. Вывод: сумма ищется мгновенно, если векторы выстроены «конец в начало».

Пример 2. Сумма по параллелограмму. В параллелограмме ABCD найти $\overline{AB} + \overline{AD}$. Оба вектора выходят из точки A, значит применимо правило параллелограмма: сумма — диагональ $\overline{AC}$. Проверка через треугольник: $\overline{AD} = \overline{BC}$, тогда $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$. Вывод: два правила дают один результат.

Пример 3. Разность. Упростить $\overline{AB} - \overline{AC}$. Векторы имеют общее начало A, поэтому разность направлена от конца вычитаемого (C) к концу уменьшаемого (B): $\overline{AB} - \overline{AC} = \overline{CB}$. Вывод: вычитание не требует построения противоположного вектора, если начала совпадают.

Пример 4. Умножение на число. Дан $\vec{a}$ длиной 4 см. Построить $3\vec{a}$ и $-\dfrac{1}{2}\vec{a}$. Первый вектор сонаправлен с $\vec{a}$ и имеет длину 12 см, второй противоположно направлен и имеет длину 2 см. Вывод: число задаёт растяжение-сжатие (модуль) и разворот (знак).

Пример 5. Координаты. Даны $\vec{a}(3; -1)$ и $\vec{b}(-1; 4)$. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = (2; 3)$, $\vec{a} - \vec{b} = (4; -5)$, $2\vec{a} - \vec{b} = (6 + 1; -2 - 4) = (7; -6)$. Вывод: аналитически операции сводятся к действиям с соответствующими координатами.

Пример 6. Коллинеарность. Проверить, коллинеарны ли $\vec{m}(2; -3)$ и $\vec{n}(-6; 9)$. Проверяем условие: $2 \cdot 9 - (-6) \cdot (-3) = 18 - 18 = 0$, значит векторы коллинеарны, причём $\vec{n} = -3\vec{m}$ — они противоположно направлены. Вывод: отрицательный коэффициент означает противоположную направленность.

Таблица операций

Типичные ошибки

Смешение вектора и отрезка. Ученик пишет $\overline{AB} = \overline{BA}$, опираясь на равенство длин. Причина — привычка работать с отрезками, где порядок букв безразличен. Неправильно: $\overline{AB} = \overline{BA}$. Правильно: $\overline{AB} = -\overline{BA}$, равны только модули.

Сложение «параллелограммом» без общего начала. Векторы, отложенные от разных точек, достраивают до параллелограмма прямо на чертеже. Причина — механическое применение правила. Правильно: сначала отложить оба вектора от одной точки, затем строить параллелограмм.

Неверное направление разности. Вектор разности проводят от конца уменьшаемого к концу вычитаемого. Неправильно: $\overline{OA} - \overline{OB} = \overline{AB}$. Правильно: $\overline{OA} - \overline{OB} = \overline{BA}$ — стрелка указывает на конец уменьшаемого.

Сложение модулей вместо векторов. Из $|\vec{a}| = 3$ и $|\vec{b}| = 4$ делают вывод $|\vec{a} + \vec{b}| = 7$. Причина — перенос арифметики на геометрию. Правильно: равенство выполняется только при сонаправленных векторах; в общем случае $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (неравенство треугольника).

Умножение вектора на вектор «покоординатно». Запись $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1x_2; y_1y_2)$ ошибочна. Причина — аналогия с умножением на число. Правильно: в теме изучено только умножение вектора на число, результат которого — вектор.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и выпишите все данные векторы через буквы точек, отметив начало и конец каждого.
2. Определите тип задания: построение, упрощение выражения, вычисление в координатах или доказательство коллинеарности.
3. Приведите векторы к удобному положению — отложите от общей точки (для параллелограмма и вычитания) или выстройте цепочкой (для треугольника).
4. Замените равные векторы: в параллелограмме ABCD используйте $\overline{AD} = \overline{BC}$, чтобы соседние слагаемые сомкнулись.
5. Выполните операцию: сложите цепочку, постройте разность или отложите $k\vec{a}$ нужной длины и направления.
6. Для координатной формы примените формулы: сложение и вычитание — по координатам, умножение — каждая координата на $k$.
7. Проверьте результат: сверьте направление стрелки, сопоставьте длину с ожидаемой ($|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$) и подставьте координаты обратно в исходное равенство.

Как запомнить

«Конец в начало — треугольник, общее начало — параллелограмм» — фраза сразу указывает нужное правило по расположению векторов на чертеже.

Правило «домино» для цепочки: $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} = \overline{AD}$ — совпадающие буквы внутри цепочки сокращаются, остаются крайние.

Разность «смотрит на уменьшаемое»: в $\overline{OA} - \overline{OB}$ стрелка идёт к A — к концу того вектора, который стоит первым.

Знак числа = направление, модуль числа = длина: $k = -2$ читается как «развернуть и удлинить вдвое».

Коллинеарность = «один через другой»: если удаётся записать $\vec{b} = k\vec{a}$, векторы параллельны; в координатах работает «крест-накрест» $x_1y_2 = x_2y_1$.