Метод координат: координаты вектора, середина отрезка, длина отрезка — тренажёр для 9 класса

Определение

Метод координат — это способ решения геометрических задач, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел, а все геометрические соотношения записываются алгебраическими равенствами. На плоскости с прямоугольной системой координат $Oxy$ точка задаётся парой $(x;\,y)$, а фигура — условиями, связывающими координаты её точек.

Основу метода составляют координаты вектора. Любой вектор $\vec{a}$ раскладывается по координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ единственным образом: $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$; числа $x$ и $y$ и называются координатами вектора и записываются $\vec{a}=(x;\,y)$. Равные векторы имеют равные координаты — направление и длина полностью определяют пару чисел.

Место темы в курсе 9 класса — переход от «чертёжной» геометрии к вычислительной. Доказательство равенства отрезков, поиск середины, проверка параллельности превращаются в арифметические действия, что делает решение проверяемым и не зависящим от точности рисунка.

Ключевые правила

Координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала. Из этого правила выводятся все остальные формулы темы.

1. Вектор по двум точкам. Если $A(x_A;\,y_A)$ и $B(x_B;\,y_B)$, то $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\;y_B-y_A)$. Пример: $A(1;\,2)$, $B(4;\,6)$ дают $\overrightarrow{AB}=(3;\,4)$.
2. Сумма и разность. Координаты суммы (разности) равны суммам (разностям) координат: $\vec{a}\pm\vec{b}=(a_1\pm b_1;\;a_2\pm b_2)$. Пример: $(3;\,4)+(-1;\,2)=(2;\,6)$.
3. Умножение на число. Каждая координата умножается на это число: $k\vec{a}=(ka_1;\;ka_2)$. Пример: $3\cdot(2;\,-5)=(6;\,-15)$.
4. Длина вектора и длина отрезка. $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, откуда $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Формула — прямое следствие теоремы Пифагора для катетов $|x_B-x_A|$ и $|y_B-y_A|$.
5. Середина отрезка. Координаты середины $M$ отрезка $AB$ — средние арифметические координат концов: $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
6. Коллинеарность. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}\ne\vec{0}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $\vec{a}=k\vec{b}$, то есть $a_1b_2-a_2b_1=0$.

Разбор примеров

Пример 1. Координаты вектора и его длина. Даны $A(-2;\,3)$, $B(4;\,-5)$. Находим $\overrightarrow{AB}=(4-(-2);\;-5-3)=(6;\,-8)$. Длина: $AB=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10$. Вычитание идёт «конец минус начало»; знак минус во второй координате означает, что при движении от $A$ к $B$ ордината убывает, но на длину знак не влияет — координаты возводятся в квадрат.

Пример 2. Действия с векторами. Пусть $\vec{a}=(3;\,-1)$, $\vec{b}=(-2;\,4)$. Тогда $2\vec{a}-\vec{b}=(6;\,-2)-(-2;\,4)=(8;\,-6)$, а $|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{64+36}=10$. Вывод: действия выполняются покоординатно, и лишь после получения итоговой пары чисел применяется формула длины — складывать длины вместо координат нельзя.

Пример 3. Середина отрезка. Концы отрезка: $C(-7;\,2)$, $D(3;\,8)$. Середина: $M\left(\frac{-7+3}{2};\;\frac{2+8}{2}\right)=(-2;\,5)$. Проверка: $\overrightarrow{CM}=(5;\,3)$ и $\overrightarrow{MD}=(5;\,3)$ — векторы равны, значит $M$ действительно делит отрезок пополам.

Пример 4. Обратная задача. Известны середина $M(1;\,-4)$ и конец $A(-3;\,2)$; найти $B$. Из $\frac{x_A+x_B}{2}=1$ следует $x_B=2\cdot1-(-3)=5$; из $\frac{y_A+y_B}{2}=-4$ следует $y_B=2\cdot(-4)-2=-10$. Итог: $B(5;\,-10)$. Правило: координата второго конца равна удвоенной координате середины минус координата первого конца.

Пример 5. Вид треугольника. Вершины: $P(0;\,0)$, $Q(4;\,2)$, $R(2;\,6)$. Считаем стороны: $PQ=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$, $PR=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$, $QR=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$. Треугольник равнобедренный ($PQ=QR$), а так как $20+20=40$, по обратной теореме Пифагора угол $Q$ прямой. Вывод: метод координат отвечает на вопрос о виде фигуры без построения и измерений.

Таблица

Типичные ошибки

Вычитание «начало минус конец». Ошибка возникает из-за чтения формулы слева направо по буквам записи $\overrightarrow{AB}$. Для $A(1;\,5)$, $B(4;\,2)$ неправильно: $(1-4;\;5-2)=(-3;\,3)$; правильно: $(4-1;\;2-5)=(3;\,-3)$. Получается противоположный вектор, и все дальнейшие выводы о направлении ломаются.

Потеря знака при двойном минусе. Ошибка появляется, когда координата начала отрицательна. Неправильно: $x_B-x_A=4-(-2)=2$; правильно: $4+2=6$. Приём защиты — записывать вычитаемое в скобках.

Сложение координат вместо вычитания при поиске длины. Смешиваются формулы длины и середины. Неправильно: $AB=\sqrt{(x_A+x_B)^2+(y_A+y_B)^2}$; правильно: в длине — разности, в середине — суммы, делённые на 2.

Деление на 2 только одной координаты. Причина — механическое переписывание дроби. Неправильно: $M=\left(\frac{-7+3}{2};\;2+8\right)$; правильно: обе координаты усредняются.

Сложение длин векторов вместо сложения самих векторов. Неправильно: $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Правильно: сначала $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1;\;a_2+b_2)$, затем корень из суммы квадратов. Равенство длин выполняется только для сонаправленных векторов.

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите координаты всех данных точек в виде $A(x_A;\,y_A)$, подписав каждую букву.
2. Определите, что требуется: вектор, длина, середина или вид фигуры.
3. Для вектора вычтите из координат конца координаты начала.
4. Выполните покоординатно указанные действия (сложение, вычитание, умножение на число).
5. Для длины возведите каждую координату вектора в квадрат, сложите и извлеките корень.
6. Для середины сложите одноимённые координаты концов и разделите каждую сумму на 2.
7. Сделайте вывод по условию задачи (равенство сторон, коллинеарность, вид треугольника).
8. Проверьте результат: нанесите точки на клетчатую бумагу и сравните с расчётом; для середины убедитесь, что $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$; длина не может быть отрицательной.

Как запомнить

• «Конец минус начало» — ключевая фраза для координат вектора; порядок букв в $\overrightarrow{AB}$ обратен порядку вычитания.
• Разности — для расстояния, суммы — для середины. Расстояние измеряет «насколько далеко» (разность), середина усредняет (сумма пополам).
• Формула длины — теорема Пифагора в координатах: горизонтальный катет $|x_B-x_A|$, вертикальный $|y_B-y_A|$, гипотенуза $AB$.
• Умножение на число — «растяжение обеих координат»: $k\vec{a}$ длиннее $\vec{a}$ ровно в $|k|$ раз.
• Обратная задача о середине: «удвой середину, вычти известный конец» — $x_B=2x_M-x_A$.