Скалярное произведение векторов — тренажёр для 9 класса

Определение

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Результат операции — скаляр, то есть обычное действительное число, а не вектор. Отсюда и название: сложение, вычитание и умножение на число дают вектор, а скалярное умножение выводит из «мира векторов» в «мир чисел».

Угол между векторами измеряется после того, как векторы отложены от одной точки; он принимает значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. Именно поэтому косинус может быть как положительным, так и отрицательным, а значит, скалярное произведение бывает любого знака.

В курсе 9 класса скалярное произведение замыкает векторную линию: оно связывает координаты (алгебру) с углами и перпендикулярностью (геометрией) и работает как инструмент в задачах на нахождение углов треугольника, доказательство перпендикулярности и вывод теоремы косинусов.

Ключевые правила

Скалярное произведение вычисляется двумя равносильными способами — через угол и через координаты; выбор способа определяется тем, что дано в условии.

1. Определение через угол: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$. Пример: при $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=5$, $\varphi=60^\circ$ получаем $2\cdot5\cdot0{,}5=5$.
2. Координатная формула: $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ — перемножаются одноимённые координаты, результаты складываются. Пример: $\{1;4\}\cdot\{3;2\}=3+8=11$.
3. Скалярный квадрат: $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2 = a_1^2+a_2^2$, поскольку $\varphi=0^\circ$ и $\cos 0^\circ = 1$. Пример: для $\vec{a}\{3;4\}$ скалярный квадрат равен $25$.
4. Косинус угла: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$ — формула следует из определения делением на длины (обе длины ненулевые).
5. Признак перпендикулярности: ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$, так как $\cos 90^\circ = 0$. Пример: $\{5;2\}\cdot\{-2;5\}=-10+10=0$.
6. Знак произведения: положителен при остром угле, отрицателен при тупом, равен нулю при прямом.
7. Свойства: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ (переместительное), $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ (сочетательное), $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$ (распределительное).

Разбор примеров

Пример 1. По координатам. Даны $\vec{a}\{3;-2\}$, $\vec{b}\{4;5\}$. Тогда $\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4+(-2)\cdot5=12-10=2$. Знак результата положителен, следовательно, угол между векторами острый. Вывод: координатная формула даёт не только число, но и мгновенную информацию о типе угла.

Пример 2. По длинам и углу. Даны $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$, $\varphi=120^\circ$. Тогда $\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot3\cdot\cos120^\circ=12\cdot(-0{,}5)=-6$. Косинус тупого угла отрицателен, поэтому произведение отрицательно, хотя длины положительны. Вывод: знак определяется исключительно углом.

Пример 3. Проверка перпендикулярности. Даны $\vec{a}\{2;-3\}$, $\vec{b}\{6;4\}$. Считаем: $2\cdot6+(-3)\cdot4=12-12=0$. Произведение обратилось в нуль при ненулевых векторах, значит $\cos\varphi=0$ и $\varphi=90^\circ$. Вывод: перпендикулярность проверяется одним арифметическим действием, без чертежа.

Пример 4. Нахождение угла. Даны $\vec{a}\{1;1\}$, $\vec{b}\{0;3\}$. Произведение: $1\cdot0+1\cdot3=3$; длины: $|\vec{a}|=\sqrt2$, $|\vec{b}|=3$. Тогда $\cos\varphi=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, откуда $\varphi=45^\circ$. Вывод: угол находится в три шага — произведение, длины, деление.

Пример 5. Геометрическая задача. В треугольнике $ABC$ даны $A(1;1)$, $B(4;5)$, $C(5;-2)$. Находим координаты векторов, выходящих из вершины $A$: $\overrightarrow{AB}\{3;4\}$, $\overrightarrow{AC}\{4;-3\}$. Их произведение: $3\cdot4+4\cdot(-3)=12-12=0$. Вывод: угол $A$ прямой, треугольник прямоугольный — доказательство получено вычислением, а не построением.

Таблица

Типичные ошибки

Ответ записан как вектор. Ученик пишет $\vec{a}\cdot\vec{b}=\{12;-10\}$, машинально перемножая координаты по отдельности. Причина — перенос правила умножения вектора на число. Неправильно: $\{3;-2\}\cdot\{4;5\}=\{12;-10\}$. Правильно: $12+(-10)=2$.

Перепутаны координаты при перемножении. Складывают «крест-накрест»: $a_1b_2+a_2b_1$. Причина — невнимание к индексам. Неправильно: $3\cdot5+(-2)\cdot4=7$. Правильно: $3\cdot4+(-2)\cdot5=2$.

Отброшен знак минуса у косинуса тупого угла. Ученик берёт $\cos120^\circ=0{,}5$ вместо $-0{,}5$. Причина — привычка к острым углам из курса 8 класса. Правильно: $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-0{,}5$.

Вместо координат вектора взяты координаты точки. Для $A(1;1)$, $B(4;5)$ пишут $\overrightarrow{AB}\{4;5\}$. Причина — пропуск правила «конец минус начало». Правильно: $\overrightarrow{AB}\{4-1;\,5-1\}=\{3;4\}$.

Угол отсчитан не от общей точки. В треугольнике для угла $A$ берут $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$, получая смежный угол. Правильно: оба вектора выходят из вершины $A$ — $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите, что дано: длины с углом или координаты.
2. При работе с точками найдите координаты векторов по правилу «координаты конца минус координаты начала».
3. Убедитесь, что векторы отложены от одной точки; при необходимости замените вектор противоположным и учтите смену знака.
4. Вычислите скалярное произведение: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$ либо $a_1b_1+a_2b_2$.
5. Если требуется угол, найдите длины: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$.
6. Подставьте значения в формулу $\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ и упростите дробь.
7. Определите угол по таблице значений косинуса.
8. Проверьте результат: ответ на произведение — число; $|\cos\varphi|\le 1$; знак произведения согласован с типом угла; нуль означает перпендикулярность.

Как запомнить

Формула через координаты читается ритмично: «первая на первую плюс вторая на вторую» — сумма двух произведений, одно число на выходе.

Знак работает как индикатор угла: плюс — острый, нуль — прямой, минус — тупой. Достаточно посчитать $a_1b_1+a_2b_2$, чтобы назвать тип угла без вычисления самого угла.

Слово «скалярное» связано со словом «скаляр» — величина без направления. Ключ к самопроверке: если в ответе появились фигурные скобки, действие выполнено неверно.

Условие перпендикулярности запоминается парой: $\perp \Leftrightarrow 0$. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому обращение произведения в нуль равносильно прямому углу.