Теорема синусов — тренажёр для 9 класса

Определение

Теорема синусов — это утверждение о том, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а каждое отношение равно диаметру описанной окружности. Формульная запись:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$

где $a,b,c$ — стороны, $A,B,C$ — противолежащие им углы, $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема связывает три «линейные» величины (стороны) с тремя «угловыми» (синусами углов) и одной характеристикой описанной окружности. Такая связь превращает измерение углов в способ вычисления длин: зная один «эталон» — сторону вместе с противолежащим ей углом — можно найти остальные стороны через углы.

Место темы в курсе 9 класса определяется задачей решения треугольника — нахождения всех шести его элементов по трём заданным. Теорема синусов закрывает случай У-У-С (два угла и сторона), а теорема косинусов — случаи С-С-С и С-У-С.

Доказательство опирается на теорему о вписанном угле. Проведём диаметр $BD$ описанной окружности. Угол $BCD$ опирается на диаметр, значит, $\angle BCD=90^\circ$, а вписанные углы $BDC$ и $BAC$ опираются на одну дугу $BC$, значит, $\angle BDC=\angle A$. Из прямоугольного треугольника $BCD$: $BC=BD\cdot\sin\angle BDC$, то есть $a=2R\sin A$, откуда $\dfrac{a}{\sin A}=2R$. Для тупого угла $A$ вписанный угол равен $180^\circ-A$, но $\sin(180^\circ-A)=\sin A$, и равенство сохраняется. Аналогично для сторон $b$ и $c$.

Ключевые правила

Теорема синусов работает в любом треугольнике — остроугольном, прямоугольном и тупоугольном — без исключений.

1. Основная пропорция. Отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех трёх пар. Пример: если $a=6$, $\sin A=0{,}5$, то $\dfrac{b}{\sin B}=12$ для любой другой стороны.
2. Формула стороны. $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$ — сторона равна известной стороне, умноженной на отношение синусов. Пример: $a=10$, $A=30^\circ$, $B=90^\circ$ дают $b=10\cdot\dfrac{1}{0{,}5}=20$.
3. Формула радиуса. $R=\dfrac{a}{2\sin A}$. Пример: в равностороннем треугольнике со стороной $6$: $R=\dfrac{6}{2\sin 60^\circ}=2\sqrt3$.
4. Сумма углов. Третий угол находится до применения теоремы: $C=180^\circ-A-B$. Без этого шага случай У-У-С не решается.
5. Условие применимости. Нужна пара «сторона + противолежащий ей угол». Если даны две стороны и угол между ними, теорема синусов бесполезна — работает теорема косинусов.
6. Следствие $a=2R\sin A$. Большей стороне соответствует больший угол, поскольку на промежутке углов треугольника большему углу отвечает большая величина $\sin$ только при $A,B\le 90^\circ$; строгое сравнение сторон даёт сравнение углов через монотонность отношения.

Разбор примеров

Пример 1 (случай У-У-С). Дано: $a=10$, $\angle A=45^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Найти $b$, $c$, $R$. Сначала третий угол: $C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ$. Далее $b=\dfrac{10\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=10\cdot\dfrac{0{,}866}{0{,}707}\approx12{,}25$; $c=\dfrac{10\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}\approx13{,}66$; $R=\dfrac{10}{2\sin45^\circ}\approx7{,}07$. Вывод: три известных элемента У-У-С однозначно определяют треугольник, и все ответы получаются одной пропорцией.

Пример 2 (радиус описанной окружности). Дано: $a=12$, $\angle A=30^\circ$. Найти $R$. $R=\dfrac{12}{2\cdot 0{,}5}=12$. Проверка смысла: $2R=24$ — наибольшая возможная хорда, и $a=12<24$, противоречия нет. Вывод: радиус вычисляется по одной паре «сторона — противолежащий угол», остальные элементы не нужны.

Пример 3 (контроль формулы). В равностороннем треугольнике со стороной $a$ теорема даёт $R=\dfrac{a}{2\sin 60^\circ}=\dfrac{a}{\sqrt3}$. Известная формула из курса — $R=\dfrac{a\sqrt3}{3}$; выражения совпадают. Вывод: теорема синусов согласуется с частными формулами и служит их проверкой.

Пример 4 (расстояние до недоступной точки). Точка $B$ — на другом берегу реки. На своём берегу отмерили $AC=50$ м и измерили углы $\angle A=72^\circ$, $\angle C=63^\circ$. Найти $AB$. $\angle B=180^\circ-72^\circ-63^\circ=45^\circ$. Сторона $AB$ противолежит углу $C$, сторона $AC$ — углу $B$: $AB=\dfrac{50\sin 63^\circ}{\sin 45^\circ}\approx\dfrac{50\cdot 0{,}891}{0{,}707}\approx63$ м. Вывод: измерение двух углов и одной доступной стороны заменяет прямое измерение расстояния.

Пример 5 (поиск угла и двузначность). Дано: $a=8$, $b=10$, $\angle A=40^\circ$. Тогда $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{10\cdot0{,}643}{8}\approx0{,}803$, откуда $B\approx53^\circ$ или $B\approx127^\circ$. Поскольку $b>a$, угол $B$ больше угла $A$, и оба варианта проходят проверку суммой углов. Вывод: при нахождении угла по синусу требуется проверять оба корня.

Таблица

Типичные ошибки

Подстановка непротиволежащего угла. Ученик пишет $\dfrac{a}{\sin B}$, потому что буквы стоят рядом в условии. Пропорция строится только по парам «сторона — противолежащий угол». Неправильно: $\dfrac{a}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin A}$. Правильно: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.

Потеря второго корня при поиске угла. Синус положителен и для острого, и для тупого угла: $\sin 127^\circ=\sin 53^\circ$. Найдя $\sin B\approx0{,}8$, нужно рассмотреть $B\approx53^\circ$ и $B\approx127^\circ$ и отбросить тот, при котором $A+B\ge180^\circ$ или нарушается неравенство «против большей стороны — больший угол».

Формула радиуса с потерянной двойкой. Запись $R=\dfrac{a}{\sin A}$ даёт удвоенный ответ, так как это выражение равно $2R$. Правильно: $R=\dfrac{a}{2\sin A}$, а $2R=\dfrac{a}{\sin A}$.

Применение теоремы синусов к случаю С-У-С. По двум сторонам и углу между ними нет ни одной полной пары «сторона — противолежащий угол», поэтому пропорция содержит два неизвестных. Правильно начинать с теоремы косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Округление на промежуточных шагах. Округлив $\sin 45^\circ$ до $0{,}7$ в начале, ученик получает погрешность в единицах. Правильно хранить $\dfrac{\sqrt2}{2}$ или 4 знака и округлять только итог.

Пошаговый алгоритм

1. Обозначьте вершины $A,B,C$ и стороны $a,b,c$, проверив соответствие: сторона $a$ лежит против угла $A$.
2. Определите тип случая по таблице: есть ли пара «сторона + противолежащий угол».
3. Если даны два угла, вычислите третий: $C=180^\circ-A-B$.
4. Запишите пропорцию с одним неизвестным: $\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}$.
5. Выразите неизвестное: $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$ (для стороны) или $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$ (для угла).
6. При поиске угла рассмотрите оба значения — острое и тупое — и отсеките невозможное по сумме углов.
7. Найдите радиус описанной окружности: $R=\dfrac{a}{2\sin A}$.
8. Проверьте ответ: сумма углов равна $180^\circ$, против большей стороны лежит больший угол, каждая сторона меньше суммы двух других, $a\le 2R$.

Как запомнить

Формула читается как «сторона к синусу своего угла»: числитель и знаменатель всегда «смотрят друг на друга» через треугольник.

• «Пара напротив» — ключевое слово-ориентир: если пары «сторона + противолежащий угол» нет, теорема синусов не запускается.
• «Два угла — работает синус, угол между сторонами — работает косинус» — правило выбора теоремы.
• $a=2R\sin A$ — компактная форма: сторона равна диаметру, умноженному на синус противолежащего угла; при $A=90^\circ$ получается $a=2R$, то есть гипотенуза — диаметр.
• Проверка формулы радиуса: в равностороннем треугольнике со стороной $1$ должно выйти $R=\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$; несовпадение указывает на потерянную двойку.