Правильные многоугольники, длина окружности — тренажёр для 9 класса

Определение

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Определение содержит два независимых условия: равенство сторон (равносторонность) и равенство углов (равноугольность). Ромб равносторонний, но не правильный; прямоугольник равноугольный, но не правильный; только квадрат совмещает оба признака.

Правильный $n$-угольник обладает описанной и вписанной окружностями, причём их центры совпадают. Общая точка называется центром многоугольника; расстояние от центра до вершины — радиус описанной окружности $R$, расстояние до стороны — радиус вписанной окружности $r$ (он же апофема).

Тема замыкает планиметрию 9 класса: через правильные многоугольники вводится длина окружности как предел периметров вписанных $n$-угольников при неограниченном увеличении $n$. Отсюда возникает число $\pi$ — отношение длины окружности к её диаметру, одинаковое для любой окружности.

Ключевые правила

Правильный $n$-угольник полностью определяется двумя параметрами: числом сторон $n$ и радиусом $R$ описанной окружности — все остальные величины выражаются через них.

1. Центральный угол — угол между радиусами, проведёнными в соседние вершины: $\alpha_{ц}=\dfrac{360^\circ}{n}$. Для шестиугольника $360^\circ:6=60^\circ$.
2. Угол правильного многоугольника (внутренний): $\alpha_n=\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$. Для пятиугольника $\dfrac{3\cdot180^\circ}{5}=108^\circ$.
3. Сторона: $a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$. Радиусы, проведённые в концы стороны, образуют равнобедренный треугольник с углом $\frac{360^\circ}{n}$ при вершине; высота делит его пополам.
4. Апофема: $r=R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$. Она же — высота того же равнобедренного треугольника.
5. Периметр и площадь: $P=na$, $S=\dfrac{1}{2}Pr$. Площадь равна сумме $n$ треугольников с основанием $a$ и высотой $r$.
6. Длина окружности: $C=2\pi R=\pi d$. Длина дуги в $\alpha$ градусов: $l=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ}$.

Разбор примеров

Пример 1. Шестиугольник, $R=6$. Центральный угол $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$, сторона $a=2\cdot6\cdot\sin30^\circ=6$, апофема $r=6\cos30^\circ=3\sqrt3\approx5{,}20$. Сторона совпала с радиусом, потому что при $n=6$ треугольник «центр — две вершины» равносторонний. Вывод: у правильного шестиугольника всегда $a=R$, $P=6R$.

Пример 2. Квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Здесь $a=2R\sin45^\circ=R\sqrt2$, $r=R\cos45^\circ=\frac{R\sqrt2}{2}=\frac{a}{2}$. Апофема оказалась половиной стороны — это половина стороны квадрата, что подтверждает формулу независимой проверкой. Вывод: формулы согласуются с известными свойствами частных случаев.

Пример 3. Дуга. Окружность радиуса $10$ см, дуга в $72^\circ$: $l=\frac{72}{360}\cdot2\pi\cdot10=4\pi\approx12{,}57$ см. Доля $\frac{72}{360}=\frac15$ означает, что дуга — пятая часть окружности, а $72^\circ$ — центральный угол правильного пятиугольника. Вывод: сторона правильного $n$-угольника стягивает дугу, равную $\frac{1}{n}$ окружности.

Пример 4. Площадь треугольника через $R=4$. Сторона $a=2\cdot4\sin60^\circ=4\sqrt3$, апофема $r=4\cos60^\circ=2$, периметр $P=12\sqrt3$, площадь $S=\frac12\cdot12\sqrt3\cdot2=12\sqrt3\approx20{,}8$. Вывод: связка $a\to P\to S=\frac12Pr$ работает для любого $n$ без отдельных формул площади.

Пример 5. Обратная задача. Длина окружности $C=31{,}4$ см. Тогда $R=\frac{C}{2\pi}=\frac{31{,}4}{6{,}28}=5$ см, а вписанный в неё правильный восьмиугольник имеет сторону $a=10\sin22{,}5^\circ\approx3{,}83$ см. Вывод: любая формула читается в обе стороны — от радиуса к длине и обратно.

Таблица

Рост $n$ сближает $P=na$ с $C=2\pi R$: при $n=12$ периметр равен $6{,}21R$ против $6{,}28R$.

Типичные ошибки

Подстановка $\frac{360^\circ}{n}$ вместо $\frac{180^\circ}{n}$. Причина — смешение центрального угла и его половины. В формулах $a$ и $r$ участвует половина центрального угла, так как высота равнобедренного треугольника делит его пополам. Неправильно: $a=2R\sin60^\circ$ для шестиугольника; правильно: $a=2R\sin30^\circ=R$.

Замена $R$ на $r$. Радиус описанной окружности идёт до вершины, вписанной — до середины стороны, и всегда $r<R$. Если в задаче дана апофема, сначала находят $R=\dfrac{r}{\cos(180^\circ/n)}$.

Градусы вместо доли в формуле дуги. Запись $l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi R$ требует градусной меры угла в числителе. Неправильно: $l=\frac{\pi/3}{360}\cdot2\pi R$; правильно: $l=\frac{60}{360}\cdot2\pi R$.

Отождествление периметра и длины окружности. Периметр вписанного многоугольника строго меньше $C$: ломаная короче дуги. Для $n=6$, $R=1$: $P=6<6{,}283=C$.

Округление $\pi$ на промежуточных шагах. Замена $\pi\approx3$ в середине решения искажает ответ на несколько процентов. Ответ сохраняют в виде $4\pi$ и округляют однократно в конце.

Пошаговый алгоритм

1. Определить $n$ — число сторон — и выписать данное: $R$, $r$, $a$, $P$ или $C$.
2. Вычислить половину центрального угла $\dfrac{180^\circ}{n}$.
3. Свести данное к радиусу $R$: из $a$ — по формуле $R=\dfrac{a}{2\sin(180^\circ/n)}$, из $r$ — по $R=\dfrac{r}{\cos(180^\circ/n)}$, из $C$ — по $R=\dfrac{C}{2\pi}$.
4. Найти искомые элементы: $a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}$, $r=R\cos\frac{180^\circ}{n}$.
5. При запросе периметра умножить сторону на $n$; при запросе площади применить $S=\frac12Pr$.
6. Для дуги подставить градусную меру: $l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi R$.
7. Проверить результат: выполняются ли неравенства $r<R$, $P<2\pi R$, а порядок числа $\pi\approx3{,}14$ сохранён.

Как запомнить

• «Синус — до вершины, косинус — до стороны»: $a$ (через вершины) с синусом, $r$ (до середины стороны) с косинусом.
• «Половинка угла»: в тригонометрических формулах всегда $\frac{180^\circ}{n}$, то есть половина от $\frac{360^\circ}{n}$.
• Шестиугольник — эталон: $a=R$, $P=6R$. Сравнение с ним мгновенно выявляет ошибку в вычислениях.
• Дуга — это дробь окружности: множитель $\frac{\alpha}{360^\circ}$ показывает, какую часть полного оборота она занимает.
• Площадь любого правильного многоугольника: «полупериметр × апофема» — та же логика, что и в формуле площади треугольника через вписанную окружность.