Теорема косинусов, решение треугольников — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Теорема косинусов — это утверждение о связи квадрата стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, где $a$, $b$, $c$ — стороны, а $C$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Формула обобщает теорему Пифагора: при $C = 90^\circ$ косинус обращается в нуль, слагаемое $-2ab\cos C$ исчезает, и остаётся $c^2 = a^2 + b^2$. Член $-2ab\cos C$ работает как поправка на отклонение угла от прямого.

Решение треугольника — это нахождение всех трёх сторон и всех трёх углов по трём независимым данным элементам. Теорема косинусов закрывает два случая из четырёх: С-У-С (две стороны и угол между ними) и С-С-С (три стороны), где теорема синусов бессильна, потому что в ней нет пары «сторона — противолежащий угол».

Доказательство опирается на векторы или на координатный метод: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, откуда $|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

Раздел 2 — Ключевые правила

Теорема косинусов записывается для любой из трёх сторон циклической заменой букв — важно лишь, чтобы угол лежал против искомой стороны.

1. Три равноправные формы. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$; $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$; $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Пример: ищем сторону $BC = a$ — берём угол $A$.
2. Обратная форма для угла. $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Пример: при $a=3$, $b=4$, $c=5$ получаем $\cos C = \frac{9+16-25}{24} = 0$, то есть $C = 90^\circ$.
3. Знак косинуса определяет вид угла. Если $a^2 + b^2 > c^2$ — угол $C$ острый; равенство — прямой; $a^2 + b^2 < c^2$ — тупой.
4. Наибольший угол ищут только косинусами. Функция $\arccos$ различает острые и тупые углы, а $\arcsin$ всегда возвращает острый.
5. Неравенство треугольника — фильтр правдоподобия. Каждая сторона меньше суммы двух других; против большей стороны лежит больший угол.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1 (С-У-С). Дано: $a = 7$, $b = 8$, $C = 60^\circ$. Подставляем: $c^2 = 49 + 64 - 2\cdot7\cdot8\cdot0{,}5 = 113 - 56 = 57$, значит $c = \sqrt{57} \approx 7{,}55$. Косинус положителен, поэтому поправка вычитается и третья сторона меньше «пифагоровой» $\sqrt{113}\approx10{,}6$. Проверка: $7{,}55 < 7 + 8$ — треугольник существует.

Пример 2 (С-У-С, тупой угол). Дано: $a = 5$, $b = 8$, $C = 120^\circ$. Так как $\cos 120^\circ = -0{,}5$, получаем $c^2 = 25 + 64 - 2\cdot5\cdot8\cdot(-0{,}5) = 89 + 40 = 129$, $c = \sqrt{129} \approx 11{,}36$. Два минуса дали плюс: против тупого угла сторона длиннее гипотенузы прямоугольного случая. Вывод: знак косинуса подставляют вместе с числом, в скобках.

Пример 3 (С-С-С, определение вида угла). Дано: $a = 4$, $b = 5$, $c = 8$. Тогда $\cos C = \frac{16 + 25 - 64}{2\cdot4\cdot5} = \frac{-23}{40} = -0{,}575$, откуда $C \approx 125^\circ$. Отрицательный косинус сразу сигнализирует: угол тупой, треугольник тупоугольный. Вывод: считать достаточно наибольший угол — он один может быть неострым.

Пример 4 (полное решение, С-У-С). Возьмём данные примера 2: $c \approx 11{,}36$. По теореме синусов $\sin A = \frac{a\sin C}{c} = \frac{5\cdot0{,}866}{11{,}36} \approx 0{,}381$, значит $A \approx 22^\circ$; тогда $B = 180^\circ - 120^\circ - 22^\circ = 38^\circ$. Синусы применены к меньшей стороне $a$ — её угол заведомо острый, неоднозначности нет. Вывод: косинусы дают сторону, синусы — оставшиеся углы.

Пример 5 (полное решение, С-С-С). Дано: $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Проверка существования: $13 + 14 > 15$. Считаем $\cos A = \frac{196 + 225 - 169}{2\cdot14\cdot15} = \frac{252}{420} = 0{,}6$, значит $A \approx 53^\circ$, $\sin A = 0{,}8$. Далее $\sin B = \frac{14\cdot0{,}8}{13} \approx 0{,}862$, $B \approx 59{,}5^\circ$, и $C \approx 67{,}5^\circ$. Сумма углов равна $180^\circ$, а порядок углов совпадает с порядком сторон. Вывод: контроль «больше сторона — больше угол» ловит арифметическую ошибку мгновенно.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря знака у косинуса тупого угла. Ученик подставляет $\cos 120^\circ$ как $0{,}5$, забыв минус. Неправильно: $c^2 = 89 - 40 = 49$. Правильно: $c^2 = 89 + 40 = 129$. Приём: писать значение в скобках — $-2ab\cdot(-0{,}5)$.

Ответ без извлечения корня. Получив $c^2 = 57$, записывают $c = 57$. Проверка неравенством треугольника сразу опровергает: $57 > 7 + 8$. Правильный ответ: $c = \sqrt{57}$.

Угол взят не против искомой стороны. В формуле $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$ угол обязан быть заключён между сторонами $a$ и $b$. Неправильно: искать $c$ через угол $A$. Правильно: для стороны $a$ — формула $a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.

Поиск тупого угла теоремой синусов. $\arcsin 0{,}866$ даёт $60^\circ$, хотя истинный угол $120^\circ$. Правильно: наибольший угол вычислять через $\cos$, остальные — через синусы.

Отсутствие проверки существования треугольника. При сторонах $2$, $3$, $9$ получается $\cos C = \frac{4+9-81}{12} = -5{,}67$, что невозможно: $|\cos C| \le 1$. Вывод: неравенство треугольника проверяют до вычислений.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Выпишите данные и отметьте их на чертеже, обозначив стороны малыми буквами, противолежащие углы — большими.
2. Определите случай: С-С-С, С-У-С, С-У-У или С-С-У.
3. Для С-С-С проверьте неравенство треугольника; для С-У-С убедитесь, что угол лежит между данными сторонами.
4. Запишите теорему косинусов в форме, где неизвестное стоит слева.
5. Подставьте числа вместе со знаками и вычислите: для стороны — извлеките квадратный корень, для угла — примените $\arccos$.
6. Найдите второй угол теоремой синусов, взяв меньшую сторону, либо снова теоремой косинусов.
7. Третий угол получите из равенства $A + B + C = 180^\circ$.
8. Проверьте результат: сумма углов равна $180^\circ$, против большей стороны лежит больший угол, каждая сторона меньше суммы двух других.

Раздел 7 — Как запомнить

Формула читается как «Пифагор со штрафом»: $c^2 = a^2 + b^2$ минус поправка $2ab\cos C$, исчезающая при $C = 90^\circ$.

Буквенное соответствие держится правилом «сторона и её угол смотрят друг на друга»: одинокая буква слева — $c$, значит справа стоит $\cos C$, а перемножаются именно $a$ и $b$.

Знак поправки: острый угол «стягивает» треугольник — сторона короче; тупой «раскрывает» — сторона длиннее. Отсюда мнемоника «плюс к тупому, минус к острому».

Порядок инструментов: косинусы дают то, чего не хватает (сторону или наибольший угол), синусы добирают остальное.