Площадь круга и кругового сектора — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Площадь круга — это числовая характеристика части плоскости, ограниченной окружностью, вычисляемая по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус. Круг включает саму окружность и всю внутреннюю область, поэтому площадь измеряется в квадратных единицах: см², м², дм².

Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Сектор занимает такую же долю круга, какую его центральный угол занимает от полного угла $360°$, — отсюда прямая пропорция $S_{\text{сект}} = \dfrac{\alpha}{360°}\pi R^2$.

Круговой сегмент — часть круга, отсечённая хордой. Площадь сегмента не имеет отдельной формулы: её находят как разность или сумму площадей сектора и треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

Тема завершает блок «Длина окружности и площадь круга» и опирается на предельный переход: площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность, при неограниченном увеличении $n$ стремится к площади круга.

Раздел 2 — Ключевые правила

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, а площадь сектора — величине центрального угла. Из этих двух утверждений выводятся все расчётные приёмы темы.

1. Площадь круга: $S = \pi R^2$. Разбор формулы: $\pi \approx 3{,}14$ — постоянная величина, $R^2$ — квадрат радиуса. При $R = 5$ см получаем $S = 25\pi \approx 78{,}5$ см².
2. Связь с длиной окружности: $S = \tfrac{1}{2}CR$, так как $C = 2\pi R$, а значит $\tfrac{1}{2}\cdot 2\pi R\cdot R = \pi R^2$. Формула удобна, когда известна длина окружности, а не радиус.
3. Площадь сектора: $S_{\text{сект}} = \dfrac{\alpha}{360°}\pi R^2$. Дробь $\dfrac{\alpha}{360°}$ — доля круга. При $\alpha = 90°$ доля равна $\tfrac14$, при $\alpha = 180°$ — половине круга.
4. Сектор через длину дуги: $S_{\text{сект}} = \tfrac{1}{2}lR$, где $l$ — длина дуги. Формула повторяет структуру $S = \tfrac12 CR$.
5. Площадь сегмента: при $\alpha < 180°$ $S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle}$; при $\alpha > 180°$ $S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} + S_{\triangle}$, где $S_{\triangle} = \tfrac12 R^2\sin\alpha$.
6. Обратная задача: из $S = \pi R^2$ следует $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$. Площадь $36\pi$ см² даёт радиус $6$ см.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Диаметр равен 14 см, найти площадь круга. Сначала радиус: $R = 14 : 2 = 7$ см. Затем $S = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}9$ см². В условии дан диаметр, а формула требует радиус — деление на 2 обязательно до возведения в квадрат. Вывод: подстановка диаметра вместо радиуса завышает результат ровно вчетверо.

Пример 2. Радиус 9 см, центральный угол 120°, найти площадь сектора. Доля круга: $\dfrac{120°}{360°} = \dfrac13$. Площадь круга: $\pi\cdot 81 = 81\pi$. Сектор: $\dfrac13\cdot 81\pi = 27\pi \approx 84{,}8$ см². Вывод: удобнее сначала сократить дробь $\dfrac{\alpha}{360°}$, а потом умножать.

Пример 3. Радиус 4 см, центральный угол 90°, найти площадь сегмента. Сектор: $\dfrac{90°}{360°}\cdot 16\pi = 4\pi$. Треугольник прямоугольный с катетами-радиусами: $S_\triangle = \tfrac12\cdot 4\cdot 4 = 8$. Сегмент: $4\pi - 8 \approx 4{,}57$ см². Вывод: меньший сегмент всегда равен разности, поскольку треугольник лежит внутри сектора.

Пример 4. Длина окружности 10π см, найти площадь круга двумя способами. Через радиус: $2\pi R = 10\pi \Rightarrow R = 5$, $S = 25\pi$. Через формулу связи: $S = \tfrac12 CR = \tfrac12\cdot 10\pi\cdot 5 = 25\pi$ см². Совпадение результатов подтверждает тождество $\tfrac12 CR = \pi R^2$.

Пример 5. Площадь круга 100 см², найти радиус. Из $\pi R^2 = 100$ получаем $R^2 = \dfrac{100}{\pi} \approx 31{,}85$, откуда $R \approx 5{,}64$ см. Вывод: обратная задача решается извлечением квадратного корня, отрицательный корень отбрасывается по смыслу величины.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Подстановка диаметра вместо радиуса. Ошибка возникает из-за того, что в условии чаще дан диаметр. Неправильно: $D = 10$, $S = \pi\cdot 10^2 = 100\pi$. Правильно: $R = 5$, $S = 25\pi$.

Путаница формул площади и длины окружности. Схожие обозначения $2\pi R$ и $\pi R^2$ смешиваются при быстром счёте. Неправильно: «площадь круга радиуса 3 равна $6\pi$». Правильно: $S = 9\pi$, а $6\pi$ — длина окружности.

Деление угла на 180° вместо 360°. Причина — перенос привычки из формулы суммы углов треугольника. Неправильно: $\dfrac{90°}{180°}\pi R^2$. Правильно: $\dfrac{90°}{360°}\pi R^2 = \dfrac{\pi R^2}{4}$.

Замена площади треугольника в сегменте на площадь сектора. Треугольник строится на двух радиусах и хорде, его площадь $\tfrac12 R^2\sin\alpha$, а не доля круга. При $R=4$, $\alpha=90°$: $S_\triangle = 8$, а не $4\pi$.

Потеря единиц измерения. Площадь измеряется в квадратных единицах. Неправильно: «$S = 25\pi$ см». Правильно: «$S = 25\pi$ см²».

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите фигуру: круг, сектор или сегмент.
2. Выпишите известные величины: $R$, $D$, $C$, $\alpha$, $l$, $S$.
3. Приведите данные к радиусу: $R = D:2$ или $R = C:(2\pi)$.
4. Выберите формулу по таблице раздела 4.
5. Подставьте числа, сократив дробь $\dfrac{\alpha}{360°}$ заранее.
6. Для сегмента вычислите площадь треугольника $\tfrac12 R^2\sin\alpha$ и выполните вычитание (или сложение при $\alpha > 180°$).
7. Запишите ответ в квадратных единицах, оставив $\pi$ или округлив по требованию.
8. Проверьте результат: площадь сектора должна быть меньше площади круга, площадь сегмента — меньше площади сектора; при $\alpha = 360°$ формула сектора обязана дать $\pi R^2$.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Пи эр квадрат» — площадь, «два пи эр» — длина: квадрат стоит там, где квадратные сантиметры.
• Дробь $\dfrac{\alpha}{360°}$ читается как «сколько кусков пиццы от целой»: $90°$ — четверть, $60°$ — шестая часть, $45°$ — восьмая.
• Формулы $S = \tfrac12 CR$ и $S_{\text{сект}} = \tfrac12 lR$ имеют одинаковый вид: половина «дуги» на радиус.
• Сегмент = сектор минус треугольник: «отрежь треугольник от куска пиццы — останется корочка».
• Обратный ход: площадь → делим на $\pi$ → корень → радиус.