Синус, косинус, тангенс угла (для произвольного угла треугольника) — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Синус, косинус и тангенс произвольного угла — это числовые характеристики угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, задаваемые через координаты точки единичной полуокружности, а не через стороны прямоугольного треугольника.

Построение таково: в системе координат чертят полуокружность радиуса $R$ с центром $O$ в начале координат, лежащую в верхней полуплоскости. Луч, выходящий из $O$ под углом $\alpha$ к положительной полуоси $Ox$, пересекает полуокружность в точке $M(x;y)$. Тогда по определению $\sin\alpha=\frac{y}{R},\qquad \cos\alpha=\frac{x}{R},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}\ (x\neq0).$

Расширение понадобилось потому, что углы треугольника бывают тупыми, а прямоугольный треугольник даёт только острые углы. Новое определение согласовано со старым: при $0^\circ<\alpha<90^\circ$ координатные формулы дают в точности те же значения, что и отношения катетов к гипотенузе.

Место темы в курсе — фундамент для теоремы синусов и теоремы косинусов: обе работают в любом треугольнике, значит, требуют синуса и косинуса тупого угла.

Раздел 2 — Ключевые правила

Основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ выполняется для любого угла $0^\circ\le\alpha\le180^\circ$, поскольку точка $M(x;y)$ лежит на окружности: $x^2+y^2=R^2$.

1. Знак синуса. На всём промежутке $[0^\circ;180^\circ]$ ордината $y\ge0$, поэтому $\sin\alpha\ge0$. Пример: $\sin150^\circ=0{,}5>0$.
2. Знак косинуса. Абсцисса $x>0$ при $\alpha<90^\circ$, $x=0$ при $\alpha=90^\circ$, $x<0$ при $\alpha>90^\circ$. Пример: $\cos120^\circ=-0{,}5$.
3. Формулы смежного угла. $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$. Пример: $\cos135^\circ=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$.
4. Область значений. $0\le\sin\alpha\le1$ и $-1\le\cos\alpha\le1$; равенство $\sin\alpha=1$ достигается только при $\alpha=90^\circ$.
5. Тангенс $90^\circ$ не существует, так как $\cos90^\circ=0$, а деление на нуль не определено.
6. Следствия тождества: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ всегда со знаком «плюс», а $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ — знак выбирают по виду угла.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Дано $\cos\alpha=-\dfrac12$, найти $\sin\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$. Подставляем в тождество: $\sin^2\alpha=1-\frac14=\frac34$, откуда $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ (минус отброшен: синус неотрицателен). Тангенс: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3$. Вывод: отрицательный косинус однозначно указывает на тупой угол ($\alpha=120^\circ$), и тангенс тоже отрицателен.

Пример 2. Угол $\beta$ треугольника тупой, $\sin\beta=\dfrac35$. Найти $\cos\beta$. Из тождества $\cos^2\beta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, значит $\cos\beta=\pm\frac45$. Условие «тупой» отсекает положительный корень: $\cos\beta=-\frac45$. Вывод: синус не различает угол и смежный ему, выбор знака делается по дополнительному условию.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ угол $B=120^\circ$, $BC=6$. Найти $\sin B$ и $\cos B$ построением. Опускаем высоту $CH$ на прямую $AB$; основание $H$ попадает вне отрезка $AB$. Угол $CBH$ смежный: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $CBH$: $CH=6\sin60^\circ=3\sqrt3$, $BH=3$. Точка $H$ лежит по отрицательную сторону, поэтому $\sin B=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos B=-\frac{3}{6}=-\frac12$. Вывод: чертёж подтверждает формулы приведения.

Пример 4. Стороны треугольника $a=7$, $b=5$, угол между ними $C=150^\circ$. Найти площадь. Формула $S=\frac12ab\sin C$ верна и для тупого угла. Считаем: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, значит $S=\frac12\cdot7\cdot5\cdot\frac12=17{,}5$. Вывод: тупой угол не меняет знак площади, потому что синус остаётся положительным.

Пример 5. Известно $\sin\gamma=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Чему равен $\gamma$? Двум углам соответствует одно значение: $\gamma=45^\circ$ или $\gamma=135^\circ$. Вывод: по синусу угол треугольника восстанавливается неоднозначно, по косинусу — однозначно.

Раздел 4 — Таблица значений и знаков

Нижняя половина таблицы получена из верхней зеркально: строки $30^\circ$ и $150^\circ$ имеют равные синусы и противоположные косинусы.

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря минуса у косинуса тупого угла. Причина — механический перенос правила «косинус равен прилежащий делить на гипотенузу», где всё положительно. Неправильно: $\cos135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$. Правильно: $\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$.

Приписывание минуса синусу. Ученик применяет знак «−» ко всем функциям тупого угла. Неправильно: $\sin120^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$. Правильно: $\sin120^\circ=+\frac{\sqrt3}{2}$, так как ордината точки полуокружности неотрицательна.

Извлечение корня без анализа знака. Из $\cos^2\alpha=\frac{16}{25}$ пишут только $\cos\alpha=\frac45$. Верная запись: $\cos\alpha=\pm\frac45$, далее выбор корня по условию (острый или тупой угол).

Использование $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}\alpha$. Ошибка возникает по аналогии с синусом. Правильно: $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$, потому что числитель сохраняется, а знаменатель меняет знак.

Вычисление $\operatorname{tg}90^\circ$. Ответ «$\operatorname{tg}90^\circ=1$» или «$=0$» неверен: $\cos90^\circ=0$, дробь не определена, тангенс прямого угла не существует.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите вид угла: острый, прямой или тупой — по условию, чертежу или знаку известной функции.
2. Если угол тупой, запишите его как $180^\circ-\alpha$, где $\alpha$ острый.
3. Найдите значение функции острого угла $\alpha$ по таблице или из прямоугольного треугольника.
4. Примените формулы приведения: синус перенесите без изменений, у косинуса и тангенса поставьте минус.
5. Если задана одна функция, а нужна другая, подставьте данные в тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
6. Извлекая корень, выпишите оба знака и вычеркните лишний по виду угла.
7. Тангенс вычисляйте последним: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, предварительно проверив $\cos\alpha\neq0$.
8. Проверьте результат: $|\sin|\le1$, $|\cos|\le1$, знаки согласованы с видом угла, а подстановка в тождество даёт единицу.

Раздел 7 — Как запомнить

Мнемоника знаков: «синус — вверх, косинус — вправо». Ордината $y$ в верхней полуплоскости всегда вверх (плюс), абсцисса $x$ у тупого угла уходит влево (минус).

Правило смежных углов сжимается в фразу: «синус смежных равен, косинус противоположен». Тангенс наследует знак косинуса, поэтому тоже меняется.

Опорная проверка: $\cos90^\circ=0$ — граница смены знака. Косинус убывает от $1$ до $-1$ монотонно, синус растёт до $1$ и симметрично убывает до $0$.