Движения (осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос) — тренажёр для 9 класса

Определение

Движение (изометрия) — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками, изучаемое в 9 классе как общий способ описания перемещений фигур. Если точки $M$ и $N$ переходят в точки $M_1$ и $N_1$, то выполняется равенство $M_1N_1 = MN$.

Из сохранения расстояний вытекают все остальные свойства: движение переводит отрезок в равный отрезок, прямую — в прямую, угол — в равный угол, треугольник — в равный треугольник. Именно поэтому наложение фигур, которым в 7 классе обосновывали признаки равенства треугольников, получает строгое определение: равными называются фигуры, совмещаемые движением.

Программа выделяет четыре основных вида движений: осевую симметрию, центральную симметрию, поворот и параллельный перенос. Каждый вид задаётся своим набором данных — прямой, точкой, парой «центр + угол» или вектором.

Ключевые правила

Каждое движение однозначно задаётся своими исходными данными и определяет образ любой точки плоскости.

1. Осевая симметрия относительно прямой $a$: точка $M$, не лежащая на $a$, переходит в такую точку $M_1$, что прямая $a$ — серединный перпендикуляр к отрезку $MM_1$. Точки самой оси неподвижны. Пример: при симметрии относительно оси $Ox$ точка $A(3;\,5)$ переходит в $A_1(3;\,-5)$.
2. Центральная симметрия с центром $O$: точка $M$ переходит в $M_1$ так, что $O$ — середина отрезка $MM_1$. Точка $O$ неподвижна. Пример: при центре $O(0;\,0)$ точка $B(-2;\,7)$ переходит в $B_1(2;\,-7)$.
3. Поворот вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ в заданном направлении: точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что $OM_1 = OM$ и $\angle MOM_1 = \alpha$. Направление (по часовой стрелке или против) указывается обязательно.
4. Параллельный перенос на вектор $\vec{p}(a;\,b)$: точка $M(x;\,y)$ переходит в точку $M_1(x+a;\,y+b)$, причём $\overrightarrow{MM_1} = \vec{p}$ для всех точек плоскости.
5. Композиция движений — снова движение: два последовательных переноса дают перенос на сумму векторов, а две осевые симметрии относительно параллельных прямых дают параллельный перенос на удвоенное расстояние между ними.

Разбор примеров

Пример 1. Осевая симметрия в координатах. Точка $M(-4;\,3)$ отражается относительно оси $Oy$. Абсцисса меняет знак, ордината сохраняется: $M_1(4;\,3)$. Отрезок $MM_1$ горизонтален, его середина $(0;\,3)$ лежит на оси $Oy$, и ось перпендикулярна отрезку — определение выполнено. Вывод: симметрия относительно $Oy$ действует по правилу $(x;\,y)\to(-x;\,y)$.

Пример 2. Центральная симметрия с произвольным центром. Найдём образ точки $K(1;\,4)$ при симметрии с центром $C(3;\,-2)$. Центр — середина отрезка, поэтому $3 = \dfrac{1+x_1}{2}$ и $-2 = \dfrac{4+y_1}{2}$. Отсюда $x_1 = 5$, $y_1 = -8$, то есть $K_1(5;\,-8)$. Вывод: общая формула $(x;\,y)\to(2x_C-x;\,2y_C-y)$.

Пример 3. Поворот на $90^\circ$. Точку $P(2;\,0)$ повернём вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки. Расстояние до центра сохраняется: $OP = OP_1 = 2$; луч $OP$ направлен по оси $Ox$, после поворота — по оси $Oy$, значит $P_1(0;\,2)$. Вывод: поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки задаётся правилом $(x;\,y)\to(-y;\,x)$, а поворот на $180^\circ$ совпадает с центральной симметрией.

Пример 4. Параллельный перенос. Треугольник с вершинами $A(0;\,1)$, $B(3;\,1)$, $C(0;\,5)$ переносится на вектор $\vec{p}(-2;\,4)$. К каждой абсциссе прибавляем $-2$, к каждой ординате $+4$: $A_1(-2;\,5)$, $B_1(1;\,5)$, $C_1(-2;\,9)$. Длины сторон не изменились: $A_1B_1 = 3 = AB$. Вывод: перенос сдвигает все точки одинаково, поэтому фигура-образ равна исходной и одинаково с ней ориентирована.

Таблица

Типичные ошибки

Замена серединного перпендикуляра произвольной прямой. Ученик проводит из точки перпендикуляр «на глаз» и откладывает произвольный отрезок. Ось обязана быть перпендикулярна отрезку $MM_1$ *и* делить его пополам. Неправильно: $M(1;\,2)\to M_1(1;\,-1)$ относительно $Ox$. Правильно: $M_1(1;\,-2)$.

Использование формулы $(-x;\,-y)$ при центре не в начале координат. Правило запоминается в частном случае и переносится на общий. При центре $C(3;\,-2)$ точка $K(1;\,4)$ переходит не в $(-1;\,-4)$, а в $(5;\,-8)$ по формуле удвоенного центра.

Потеря направления поворота. Угол указан, а слова «по часовой стрелке» проигнорированы, из-за чего образ оказывается симметричным нужному относительно центра. Поворот $P(2;\,0)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке даёт $(0;\,-2)$, а против часовой — $(0;\,2)$.

Вычитание координат вектора при переносе. Ученик путает перенос с обратным ему. При $\vec{p}(-2;\,4)$ точка $A(0;\,1)$ переходит в $(0+(-2);\,1+4) = (-2;\,5)$, а не в $(2;\,-3)$.

Убеждение, что движение меняет размер. Гомотетия и движение смешиваются. Изометрия сохраняет все длины и углы: образ и прообраз — равные фигуры, а не подобные.

Пошаговый алгоритм

1. Определите вид движения по условию: прямая — осевая симметрия, точка — центральная, «центр и угол» — поворот, вектор — перенос.
2. Выпишите данные движения: уравнение оси, координаты центра, величину и направление угла или координаты вектора.
3. Запишите координаты всех характерных точек фигуры (вершин многоугольника, концов отрезка, центра окружности).
4. Примените к каждой точке координатную формулу из таблицы, выполняя вычисления по одной точке.
5. Постройте образ: отметьте полученные точки и соедините их в том же порядке, что и в исходной фигуре.
6. Проверьте результат: вычислите длину одной стороны у прообраза и образа по формуле $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — значения обязаны совпасть.

Как запомнить

• «Ось — зеркало»: отражение меняет левое и правое, поэтому осевая симметрия переворачивает ориентацию, а три остальных движения — нет.
• «Центр — середина»: единственное условие центральной симметрии формулируется четырьмя словами: центр есть середина отрезка $MM_1$.
• Поворот на $180^\circ$ = центральная симметрия — эта связка избавляет от отдельного запоминания формулы $(x;\,y)\to(-x;\,-y)$.
• Перенос — только плюс: к координатам точки прибавляются координаты вектора, знак минус приходит из самих координат вектора.
• Опорная проверка любой задачи: расстояния сохранены — движение выполнено верно.