Теорема Пифагора и обратная теорема — тренажёр для 8 класса

Определение

Теорема Пифагора — это утверждение о метрическом соотношении сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b², где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла; катеты — две стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза всегда длиннее каждого катета, поскольку против большего угла лежит большая сторона, а прямой угол в прямоугольном треугольнике — наибольший.

Обратная теорема Пифагора формулируется так: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против этой большей стороны. Прямая теорема отвечает на вопрос «чему равна сторона», обратная — на вопрос «какой это треугольник».

Место темы в курсе 8 класса: теорема замыкает раздел о подобии и площадях и открывает дорогу к тригонометрии, координатному методу и формуле расстояния между точками.

Ключевые правила

Теорема Пифагора применима только к прямоугольному треугольнику — наличие угла 90° проверяется до подстановки чисел в формулу.

1. Прямая формула. c² = a² + b², откуда c = √(a² + b²). Пример: катеты 3 и 4 дают c = √(9 + 16) = 5.
2. Обратные формулы для катета. a² = c² − b², то есть a = √(c² − b²). Пример: c = 10, b = 6 → a = √(100 − 36) = 8.
3. Доказательство (по Атанасяну). Достраиваем квадрат со стороной a + b, внутри которого размещены четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и внутренний четырёхугольник со стороной c. Площадь большого квадрата: (a + b)² = a² + 2ab + b². Та же площадь как сумма частей: 4 · (½ab) + c² = 2ab + c². Приравниваем: a² + 2ab + b² = 2ab + c², сокращаем 2ab и получаем a² + b² = c². Внутренний четырёхугольник — квадрат, так как его стороны равны c, а углы равны 180° − (α + β) = 90°.
4. Классификация по обратной теореме. Сравниваем c² (квадрат наибольшей стороны) с a² + b²: равенство — прямоугольный, c² > a² + b² — тупоугольный, c² < a² + b² — остроугольный.
5. Работа с многоугольниками. Высоту, диагональ или боковую сторону находят, выделив прямоугольный треугольник: высота, часть основания и сторона фигуры.

Разбор примеров

Пример 1. Нахождение гипотенузы. Катеты равны 5 см и 12 см. Подставляем: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, значит c = 13 см. Обе величины возводим в квадрат до сложения — квадрат суммы (5 + 12)² = 289 не имеет отношения к задаче. Вывод: сложение выполняется над квадратами, не над длинами.

Пример 2. Нахождение катета. Гипотенуза равна 25, один катет 7. Работает вычитание: b² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, b = 24. Разность квадратов удобно считать по формуле (25 − 7)(25 + 7) = 18 · 32 = 576. Вывод: катет находится вычитанием, и результат обязан быть меньше гипотенузы.

Пример 3. Определение вида треугольника. Стороны 6, 7, 9. Наибольшая сторона 9: 9² = 81, а 6² + 7² = 36 + 49 = 85. Так как 81 < 85, треугольник остроугольный. Для сторон 9, 40, 41 получаем 41² = 1681 и 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 — равенство выполнено, треугольник прямоугольный. Вывод: в квадрат возводится именно большая сторона.

Пример 4. Элемент многоугольника. Ромб с диагоналями 16 и 30. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона — гипотенуза треугольника с катетами 8 и 15: a = √(64 + 225) = √289 = 17. Вывод: свойства фигуры дают прямой угол, теорема даёт длину.

Пример 5. Прикладная задача. Лестница длиной 5 м приставлена к стене, её нижний конец отстоит от стены на 1,4 м. Высота подъёма: h = √(25 − 1,96) = √23,04 = 4,8 м. Вывод: лестница, стена и земля моделируют прямоугольный треугольник, где лестница — гипотенуза.

Таблица

Типичные ошибки

Смешение катета и гипотенузы. Ошибка возникает при чтении чертежа без отметки прямого угла. Неправильно: при c = 13, a = 5 писать b = √(169 + 25). Правильно: b = √(169 − 25) = 12.

Сложение длин вместо квадратов. Причина — механическое запоминание слова «сумма». Неправильно: c = 3 + 4 = 7. Правильно: c² = 9 + 16 = 25, c = 5.

Забытое извлечение корня. Ученик останавливается на строке c² = 169 и записывает ответ 169. Правильно: c = √169 = 13; ответ содержит длину, а не её квадрат.

Применение теоремы к непрямоугольному треугольнику. Причина — отсутствие проверки условия. Для сторон 5, 6, 10 равенство 100 = 25 + 36 неверно, теорема неприменима; вид треугольника определяется обратной теоремой (100 > 61 — тупоугольный).

Выбор не той стороны при проверке. Сравнивать нужно квадрат наибольшей стороны. Неправильно: 6² =? 8² + 10². Правильно: 10² = 100 = 36 + 64 — треугольник прямоугольный.

Пошаговый алгоритм

1. Определите по условию или чертежу, есть ли прямой угол; при его отсутствии выделите прямоугольный треугольник высотой или диагональю.
2. Обозначьте гипотенузу (сторона против прямого угла) и катеты.
3. Выпишите равенство c² = a² + b².
4. Выразите неизвестную величину: c = √(a² + b²) либо a = √(c² − b²).
5. Подставьте числа и выполните возведение в квадрат до сложения или вычитания.
6. Извлеките квадратный корень, при необходимости вынесите множитель: √72 = 6√2.
7. Проверьте результат: гипотенуза больше каждого катета, сумма любых двух сторон больше третьей, ответ записан в единицах длины.

Как запомнить

• «Пифагоровы штаны во все стороны равны» — напоминание о трёх квадратах, построенных на сторонах треугольника.
• Гипотенуза лежит против прямого угла и всегда наибольшая — контроль правдоподобия ответа.
• Ищем длинную сторону — складываем; ищем короткую — вычитаем.
• Пифагоровы тройки для устного счёта: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29, а также их кратные: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26.
• Диагональ квадрата a√2, высота равностороннего треугольника a√3/2 — два следствия, встречающиеся в задачах чаще всего.