Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников — тренажёр для 8 класса

Определение

Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Записывают подобие знаком ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁, причём порядок букв фиксирует соответствие вершин: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁.

Сходственные стороны — стороны, лежащие против равных углов. Отношение сходственных сторон — постоянное число: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ = k. Число k называют коэффициентом подобия; при k = 1 подобие превращается в равенство треугольников.

Подобие занимает в курсе 8 класса место связующего звена: на нём строятся теорема о пропорциональных отрезках, свойства высоты прямоугольного треугольника, тригонометрические отношения в 9 классе и весь практический раздел измерительных работ на местности.

Ключевые правила

Подобие треугольников доказывается тремя признаками, каждый из которых требует проверки только двух или трёх условий вместо шести.

1. Первый признак (У-У): если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Пример: ∠A = ∠A₁ = 40°, ∠B = ∠B₁ = 95° ⇒ △ABC ∼ △A₁B₁C₁ (третьи углы равны автоматически: 180° − 40° − 95° = 45°).
2. Второй признак (С-У-С): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны. Пример: 8/12 = 10/15 и ∠A = ∠A₁.
3. Третий признак (С-С-С): если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны. Пример: 4 : 6 : 8 и 6 : 9 : 12 дают одно и то же отношение 2/3.
4. Отношение периметров подобных треугольников равно k, поскольку P = a + b + c, а каждое слагаемое умножается на одно и то же число.
5. Отношение площадей подобных треугольников равно k²: S/S₁ = k². Основание и высота увеличиваются в k раз, произведение — в k² раз.

Разбор примеров

Пример 1. Признак У-У. В △ABC ∠A = 30°, ∠B = 80°; в △MNK ∠M = 30°, ∠K = 70°. Находим ∠N = 180° − 30° − 70° = 80°. Два угла первого треугольника равны двум углам второго (∠A = ∠M, ∠B = ∠N), значит △ABC ∼ △MNK. Вывод: сравнивать надо все три угла, пересчитав недостающий.

Пример 2. Вычисление стороны через k. △ABC ∼ △A₁B₁C₁, AB = 6 см, A₁B₁ = 15 см, BC = 8 см. Коэффициент k = AB/A₁B₁ = 6/15 = 2/5. Тогда B₁C₁ = BC : k = 8 : 2/5 = 20 см. Вывод: неизвестная сторона находится делением или умножением на k — в зависимости от того, в каком треугольнике она лежит.

Пример 3. Признак С-У-С. AB = 5, AC = 7,5, ∠A = 62°; A₁B₁ = 2, A₁C₁ = 3, ∠A₁ = 62°. Проверяем: 5/2 = 2,5 и 7,5/3 = 2,5 — отношения совпали, углы между этими сторонами равны. Следовательно, △ABC ∼ △A₁B₁C₁ с k = 2,5. Вывод: равный угол обязан лежать именно между пропорциональными сторонами.

Пример 4. Площади. △ABC ∼ △A₁B₁C₁, k = 3, S(A₁B₁C₁) = 14 см². Тогда S(ABC) = k² · S(A₁B₁C₁) = 9 · 14 = 126 см². Обратная задача: если S(ABC)/S(A₁B₁C₁) = 49/25, то k = √(49/25) = 7/5. Вывод: переход от площадей к сторонам требует извлечения корня.

Пример 5. Высота дерева. Вертикальный шест высотой 1,5 м даёт тень 2 м, дерево в тот же момент — тень 16 м. Лучи солнца параллельны, углы падения равны, оба треугольника прямоугольные ⇒ подобие по У-У. Составляем пропорцию: h/1,5 = 16/2, откуда h = 1,5 · 8 = 12 м. Вывод: подобие переводит недоступное измерение в пропорцию доступных.

Таблица признаков и следствий

Типичные ошибки

Нарушение порядка вершин в записи. Ученик пишет △ABC ∼ △B₁A₁C₁, а пропорцию составляет как для △A₁B₁C₁. Причина — восприятие записи как простого перечисления букв. Неправильно: AB/A₁B₁ при соответствии A ↔ B₁. Правильно: сначала установить соответствие вершин по равным углам, потом записывать отношения.

Сложение вместо умножения при поиске k. Из AB = 4 и A₁B₁ = 6 делают вывод «сторона больше на 2», а затем к BC = 5 прибавляют 2. Причина — подмена пропорциональности разностью. Правильно: k = 6/4 = 1,5, значит B₁C₁ = 5 · 1,5 = 7,5.

Перенос коэффициента k на площади. Ответ «площадь больше в 3 раза» при k = 3. Причина — игнорирование двумерности площади. Правильно: S₁/S = 3² = 9.

Угол не между пропорциональными сторонами. Дано AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠B = ∠B₁ — вывод о подобии делать нельзя. Причина — механическое применение второго признака. Правильно: искать равенство именно ∠A = ∠A₁ либо переходить к другому признаку.

Смешение подобия и равенства. Фраза «стороны равны, значит треугольники подобны с k = 2». Правильно: равенство — частный случай подобия при k = 1.

Пошаговый алгоритм

1. Постройте или обозначьте чертёж, выпишите все данные при соответствующих вершинах.
2. Найдите пару равных углов: вертикальные, накрест лежащие при параллельных прямых, общий угол двух треугольников.
3. Определите, какой признак применим: два угла — У-У; две стороны и угол между ними — С-У-С; три стороны — С-С-С.
4. Запишите подобие с правильным порядком вершин: равные углы — на одинаковых местах.
5. Вычислите коэффициент k как отношение пары известных сходственных сторон.
6. Составьте пропорцию для искомой величины и решите её умножением или делением на k.
7. Для площадей примените S/S₁ = k², для периметров — P/P₁ = k.
8. Проверьте ответ: против большего угла лежит большая сторона, а найденная сторона относится к сходственной ей в отношении k.

Как запомнить

• Ключ к признакам — три буквенные схемы: У-У, С-У-С, С-С-С. Они повторяют схемы признаков равенства, но знак «=» заменён знаком «пропорционально».
• Формула масштаба: линия — k, площадь — k². Опора: квадрат со стороной 2 см содержит 4 квадрата со стороной 1 см.
• Правило соответствия: «против равных углов — сходственные стороны». Сначала углы, потом стороны.
• Контрольная фраза для второго признака: «угол зажат между сторонами». Если угол «сбоку» — признак не работает.
• Проверка k: k > 1 — искомый треугольник крупнее исходного, k < 1 — мельче.