Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Тригонометрия острого угла — тренажёр для 8 класса

Определение

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — это равенства, связывающие длины катетов, гипотенузы, высоты, проведённой к гипотенузе, и проекций катетов на гипотенузу. Изучают их в 8 классе после теоремы Пифагора и признаков подобия треугольников.

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два меньших, каждый из которых подобен исходному и подобен другому. Подобие даёт пропорции сторон, а пропорции превращаются в четыре рабочие формулы.

Тригонометрия острого угла — раздел, в котором отношения сторон прямоугольного треугольника ставятся в соответствие величине угла. Синус, косинус и тангенс зависят только от градусной меры угла, а не от размеров треугольника: у подобных треугольников отношения сторон совпадают. Отсюда практическая ценность — по одной стороне и одному острому углу восстанавливаются все остальные элементы.

Ключевые правила

Метрические соотношения формулируются для треугольника ABC с прямым углом C, высотой CH к гипотенузе AB, где AH и BH — проекции катетов AC и BC.

1. Квадрат высоты равен произведению проекций: CH² = AH · BH. При AH = 4, BH = 9 получаем CH = √36 = 6.
2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащую проекцию: AC² = AB · AH, BC² = AB · BH. При AB = 13, AH = 4 катет AC = √52 = 2√13.
3. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту: AC · BC = AB · CH. Отсюда CH = AC · BC / AB.
4. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC/AB.
5. Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC/AB.
6. Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC.
7. Основные тождества: sin²A + cos²A = 1, tg A = sin A / cos A, sin A = cos(90° − A).
8. Значения синуса и косинуса острого угла лежат строго между 0 и 1, тангенс принимает любые положительные значения.

Разбор примеров

Пример 1. Проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16. Найти высоту, катеты и гипотенузу. Высота: CH = √(9 · 16) = 12. Гипотенуза: AB = 9 + 16 = 25. Катеты: AC = √(25 · 9) = 15, BC = √(25 · 16) = 20. Проверка теоремой Пифагора: 15² + 20² = 625 = 25². Вывод: по двум проекциям восстанавливается весь треугольник.

Пример 2. Катет равен 6, прилежащая к нему проекция равна 4. Найти гипотенузу. Из AC² = AB · AH следует 36 = AB · 4, значит AB = 9. Вторая проекция BH = 9 − 4 = 5, высота CH = √(4 · 5) = 2√5. Вывод: соотношение «катет — гипотенуза — проекция» работает в обе стороны, как уравнение с одним неизвестным.

Пример 3. В треугольнике ABC угол C = 90°, угол A = 30°, гипотенуза AB = 10. Найти катеты. BC = AB · sin A = 10 · 0,5 = 5 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы). AC = AB · cos A = 10 · (√3/2) = 5√3. Вывод: катет ищется как произведение гипотенузы на синус противолежащего или косинус прилежащего угла.

Пример 4. Лестница опирается на стену под углом 60° к земле, основание отстоит от стены на 2 м. Какой высоты достигает лестница? Известен прилежащий катет, ищется противолежащий — работает тангенс: h = 2 · tg 60° = 2√3 ≈ 3,46 м. Длина лестницы: 2 / cos 60° = 4 м. Вывод: тангенс связывает два катета без участия гипотенузы.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона 13, основание 10. Найти синус угла при основании. Высота к основанию делит его пополам: половина равна 5, высота = √(169 − 25) = 12. Тогда sin = 12/13, cos = 5/13, tg = 12/5. Вывод: неравносторонние задачи сводятся к прямоугольным проведением высоты.

Таблица

Типичные ошибки

Путаница противолежащего и прилежащего катета. Возникает, когда ученик запоминает формулу «через буквы», а не через положение относительно угла. Неправильно: для угла A с катетами AC = 3, BC = 4 и гипотенузой 5 записать sin A = 3/5. Правильно: sin A = BC/AB = 4/5, потому что BC лежит против угла A.

Умножение вместо деления при поиске гипотенузы. Ошибка рождается из формулы sin A = BC/AB, прочитанной невнимательно. Неправильно: AB = BC · sin A. Правильно: AB = BC / sin A.

Замена гипотенузы проекцией в формуле катета. Формулы AC² = AB · AH и CH² = AH · BH внешне похожи. Неправильно: AC² = AH · BH. Правильно: в формуле для катета первый множитель — вся гипотенуза.

Получение синуса больше единицы. Признак того, что катет и гипотенуза перепутаны местами. Неправильно: sin A = 13/5. Правильно: гипотенуза всегда наибольшая сторона, поэтому sin A = 5/13.

Смешение tg 30° и tg 60°. Возникает из-за симметрии значений. Ориентир: больший угол — больший тангенс, поэтому tg 60° = √3 ≈ 1,73, а tg 30° = √3/3 ≈ 0,58.

Пошаговый алгоритм

1. Постройте чертёж и отметьте прямой угол, известные стороны и углы.
2. Определите, что дано: проекции и высота — работайте метрическими соотношениями; угол и сторона — тригонометрией.
3. Для тригонометрии назовите каждую сторону относительно выбранного угла: противолежащий катет, прилежащий катет, гипотенуза.
4. Выберите функцию по паре «известное — искомое»: гипотенуза и противолежащий — синус; гипотенуза и прилежащий — косинус; два катета — тангенс.
5. Составьте уравнение и выразите неизвестную сторону.
6. Подставьте табличное значение для 30°, 45°, 60° и упростите иррациональность.
7. Проверьте результат: гипотенуза больше каждого катета, теорема Пифагора выполняется, против большего угла лежит большая сторона.

Как запомнить

• «Синус — Слева Противолежащий, Косинус — Кладём Прилежащий»: обе дроби делятся на гипотенузу.
• Тангенс — «два катета, гипотенуза отдыхает».
• Ряд синусов 30°, 45°, 60° — √1/2, √2/2, √3/2: под корнем идут 1, 2, 3. Косинусы — тот же ряд в обратном порядке.
• Высота к гипотенузе — «среднее геометрическое проекций», катет — «среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции».
• Контроль на глаз: синус и косинус острого угла всегда меньше 1.