Окружность: вписанная и описанная окружности, касательная к окружности — тренажёр для 8 класса

Раздел 1 — Определение

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называемую точкой касания. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей, а прямая, не имеющая с окружностью общих точек, лежит от центра дальше, чем радиус.

Взаимное расположение прямой и окружности определяется одним числом — расстоянием *d* от центра до прямой. При *d* > *R* общих точек нет, при *d* = *R* прямая касательная, при *d* < *R* прямая секущая. Такое сравнение *d* и *R* — рабочий инструмент почти всех задач раздела.

Вписанная окружность треугольника касается всех трёх его сторон изнутри; описанная окружность проходит через все три вершины. Обе окружности существуют для любого треугольника и притом единственны — этот факт связывает тему с замечательными точками треугольника и с формулами площади.

Раздел 2 — Ключевые правила

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, — из этой теоремы выводятся остальные свойства раздела.

1. Теорема о касательной. Если прямая *a* касается окружности с центром *O* в точке *A*, то *OA* ⊥ *a*. Обратно: если радиус *OA* перпендикулярен прямой *a* в точке *A*, то *a* — касательная. Пример: радиус 5, расстояние от центра до прямой 5 → прямая касательная.
2. Свойство двух касательных из внешней точки. Отрезки касательных, проведённых из точки *M* к окружности, равны: *MA* = *MB*, а луч *MO* — биссектриса угла *AMB*. Пример: *MA* = 12 ⇒ *MB* = 12.
3. Длина касательной. Из прямоугольного треугольника *OAM* (∠*A* = 90°): *MA* = √(*OM*² − *R*²). Пример: *OM* = 13, *R* = 5 ⇒ *MA* = 12.
4. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника; она равноудалена от сторон, расстояние равно *r*.
5. Радиус вписанной окружности: *r* = *S* / *p*, где *p* = (*a* + *b* + *c*)/2 — полупериметр. Пример: *S* = 24, *p* = 12 ⇒ *r* = 2.
6. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам; она равноудалена от вершин на расстояние *R*.
7. Радиус описанной окружности: *R* = *abc* / (4*S*). Пример: 6·8·10 / (4·24) = 5.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Длина касательной. Из точки *M*, удалённой от центра *O* на 10, проведена касательная *MA* к окружности радиуса 6. Радиус *OA* перпендикулярен *MA*, значит треугольник *OAM* прямоугольный с гипотенузой *OM*. По теореме Пифагора *MA* = √(100 − 36) = 8. Вывод: касательная всегда превращает задачу в прямоугольный треугольник «радиус — касательная — расстояние до центра».

Пример 2. Две касательные. Из точки *M* проведены касательные *MA* и *MB*, ∠*AMB* = 60°. Так как *MA* = *MB*, треугольник *AMB* равнобедренный, а угол при вершине 60° делает его равносторонним: *AB* = *MA*. Вывод: равенство отрезков касательных превращает конфигурацию в равнобедренный треугольник.

Пример 3. Прямоугольный треугольник 6, 8, 10. Площадь *S* = ½·6·8 = 24, полупериметр *p* = 12. Тогда *r* = 24/12 = 2 и *R* = 6·8·10/(4·24) = 5. Проверка частными формулами: *R* = *c*/2 = 5, *r* = (*a* + *b* − *c*)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Вывод: обе общие формулы согласуются с признаками прямоугольного треугольника.

Пример 4. Треугольник 13, 14, 15. Полупериметр *p* = 21, по формуле Герона *S* = √(21·8·7·6) = √7056 = 84. Отсюда *r* = 84/21 = 4 и *R* = 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 8,125. Вывод: если даны только стороны, площадь находят по Герону, а затем сразу оба радиуса.

Пример 5. Равнобедренный треугольник 5, 5, 6. Высота к основанию равна √(25 − 9) = 4, *S* = ½·6·4 = 12, *p* = 8. Тогда *r* = 12/8 = 1,5, *R* = 5·5·6/(4·12) = 3,125. Вывод: в равнобедренном треугольнике оба центра лежат на оси симметрии — высоте к основанию.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Подмена полупериметра периметром. Ошибка возникает из-за буквы *p*, которую путают с обозначением периметра. Неправильно: для сторон 13, 14, 15 писать *r* = 84/42 = 2. Правильно: *p* = 21, *r* = 84/21 = 4.

Перепутанные центры. Биссектрисы дают центр вписанной окружности, серединные перпендикуляры — описанной; смешение возникает при заучивании без опоры на смысл. Неправильно: «центр описанной окружности — пересечение биссектрис». Правильно: биссектриса равноудалена от сторон (вписанная), серединный перпендикуляр — от вершин (описанная).

Потеря множителя 4 в формуле радиуса. Формулу *R* = *abc*/(4*S*) сокращают до *abc*/*S* по невнимательности. Неправильно: 6·8·10/24 = 20. Правильно: 6·8·10/(4·24) = 5.

Прямой угол «не с тем» радиусом. Перпендикулярность выполняется только для радиуса, проведённого в точку касания. Неправильно: считать ∠*OMA* = 90° для произвольной точки *M* касательной. Правильно: ∠*OAM* = 90°, где *A* — точка касания.

Уверенность, что центр описанной окружности всегда внутри. Опора на рисунок остроугольного треугольника даёт ложное обобщение. Правильно: в остроугольном центр внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, в тупоугольном — снаружи.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите объект: касательная, вписанная окружность или описанная.
2. Постройте чертёж; в точку касания проведите радиус и отметьте прямой угол.
3. Проверьте вид треугольника по теореме, обратной теореме Пифагора (*a*² + *b*² ? *c*²).
4. Найдите площадь *S*: через катеты, через высоту или по формуле Герона *S* = √(*p*(*p*−*a*)(*p*−*b*)(*p*−*c*)).
5. Вычислите полупериметр *p* = (*a* + *b* + *c*)/2.
6. Примените нужную формулу: *r* = *S*/*p* либо *R* = *abc*/(4*S*).
7. Для конфигурации с касательными выделите прямоугольный треугольник и примените теорему Пифагора: *MA* = √(*OM*² − *R*²).
8. Проверьте ответ: *r* меньше половины наименьшей высоты, *R* больше половины наибольшей стороны; в прямоугольном треугольнике сверьте с *R* = *c*/2 и *r* = (*a*+*b*−*c*)/2.

Раздел 7 — Как запомнить

Формула *r* = *S*/*p* читается как «эс на пэ»: площадь треугольника равна *p*·*r*, потому что треугольник разбивается на три треугольника с общей высотой *r*.

Формула *R* = *abc*/(4*S*) запоминается ритмом «а-бэ-цэ на четыре эс»: в числителе три стороны, в знаменателе четвёрка и площадь.

Пара «биссектриса — сторона, серединный перпендикуляр — вершина» удерживает различие центров: вписанная окружность касается сторон, описанная проходит через вершины.

Точка касания — единственное место прямого угла: «радиус в точку касания — всегда 90°», а из внешней точки «два касательных отрезка — близнецы».