Площадь треугольника и трапеции — тренажёр для 8 класса

Раздел 1 — Определение

Площадь треугольника — это половина произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне: S = ½·a·h. Площадь трапеции — половина суммы оснований, умноженная на высоту: S = ((a + b)/2)·h.

Обе формулы выводятся из площади параллелограмма S = a·h, а та — из площади прямоугольника. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь каждого вдвое меньше: S = ½·a·h. Диагональ трапеции разбивает её на два треугольника с общей высотой h и основаниями a и b, откуда S = ½·a·h + ½·b·h = ((a + b)/2)·h.

В курсе 8 класса эти формулы замыкают линию «равновеликие фигуры → площадь прямоугольника → площадь параллелограмма → площадь треугольника и трапеции». На них опираются теорема Пифагора (через площади квадратов), подобие фигур и вся дальнейшая планиметрия.

Термин высота здесь означает перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону; для трапеции — расстояние между параллельными основаниями.

Раздел 2 — Ключевые правила

Площадь треугольника вычисляется по любой из трёх пар «сторона + высота к ней», и результат всегда один и тот же.

1. Основная формула: S = ½·a·h, где h — высота, проведённая именно к стороне a. Пример: a = 12 см, h = 5 см → S = ½·12·5 = 30 см².
2. Формула через синус угла: S = ½·a·b·sin C, где C — угол между сторонами a и b. Пример: a = 6, b = 4, C = 30° → S = ½·6·4·0,5 = 6.
3. Прямоугольный треугольник: площадь равна половине произведения катетов, S = ½·a·b, потому что каждый катет служит высотой к другому (sin 90° = 1).
4. Площадь трапеции: S = ((a + b)/2)·h. Полусумма оснований равна средней линии m, поэтому S = m·h. Пример: a = 7, b = 13, h = 6 → S = 10·6 = 60.
5. Свойство аддитивности: площадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбита без наложений. Пятиугольник режут на треугольник и трапецию, площади складывают.
6. Равные основания и равные высоты дают равные площади: медиана делит треугольник на два равновеликих (основания равны, высота общая).

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Две высоты одного треугольника. Сторона a = 15 см, высота к ней h = 8 см. Найти высоту, проведённую к стороне b = 10 см. Сначала S = ½·15·8 = 60 см². Затем из равенства 60 = ½·10·h₂ получаем h₂ = 12 см. Вывод: площадь — величина постоянная, а пара «сторона–высота» подбирается любая; отсюда рабочее правило h = 2S/a.

Пример 2. Формула с синусом. В треугольнике AB = 8, AC = 10, ∠A = 150°. Найти площадь. S = ½·8·10·sin 150° = 40·0,5 = 20. Синус тупого угла равен синусу смежного острого (sin 150° = sin 30°), поэтому высота получается той же, что при ∠A = 30°. Вывод: формула S = ½·a·b·sin C работает для острого, прямого и тупого угла одинаково.

Пример 3. Прямоугольный треугольник и высота к гипотенузе. Катеты 6 и 8. Найти высоту, опущенную на гипотенузу. S = ½·6·8 = 24. Гипотенуза c = √(36 + 64) = 10. Из 24 = ½·10·h следует h = 4,8. Вывод: приём «посчитать площадь двумя способами» — стандартный путь к неизвестной высоте.

Пример 4. Обратная задача по трапеции. Площадь трапеции 48 см², высота 6 см, одно основание 10 см. Найти второе. 48 = ((10 + b)/2)·6 → (10 + b)/2 = 8 → 10 + b = 16 → b = 6 см. Вывод: формула площади — уравнение с четырьмя величинами; зная любые три, находят четвёртую.

Пример 5. Составная фигура. Участок имеет форму пятиугольника: снизу трапеция с основаниями 20 м и 14 м и высотой 8 м, сверху достроен треугольник с основанием 14 м и высотой 6 м. S₁ = ((20 + 14)/2)·8 = 136 м², S₂ = ½·14·6 = 42 м², S = 136 + 42 = 178 м². Вывод: сложную фигуру разбивают линиями на треугольники и трапеции так, чтобы у частей были известные основания и высоты.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Высота взята не к той стороне. Ошибка возникает, когда в условии даны «сторона 10 и высота 6», но высота проведена к другой стороне. Неправильно: S = ½·10·6 = 30. Правильно: подставлять только пару «сторона a — высота h к стороне a».

Потеря множителя ½. Формулу треугольника путают с формулой параллелограмма S = a·h. Неправильно: 12·5 = 60. Правильно: ½·12·5 = 30.

Синус не того угла. В формуле S = ½·a·b·sin C берут угол, лежащий против стороны, а не между сторонами a и b. Правильно: угол C — обязательно угол между указанными сторонами.

Сумма оснований вместо полусуммы. Неправильно: S = (7 + 13)·6 = 120. Правильно: S = ((7 + 13)/2)·6 = 60. Проверочный ориентир: площадь трапеции меньше площади прямоугольника со стороной, равной большему основанию.

Боковая сторона трапеции принята за высоту. У наклонной боковой стороны длина больше расстояния между основаниями. Правильно: высоту находят по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, отсечённого перпендикуляром.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Начертите фигуру и отметьте на чертеже все данные из условия.
2. Определите тип фигуры: треугольник, трапеция или составная фигура.
3. Для составной фигуры проведите разрезы и запишите S = S₁ + S₂ + …
4. Выберите формулу по имеющимся данным: сторона и высота → S = ½·a·h; две стороны и угол → S = ½·a·b·sin C; трапеция → S = ((a + b)/2)·h.
5. Найдите недостающий элемент: высоту — через теорему Пифагора или через площадь, посчитанную вторым способом.
6. Приведите все длины к одной единице измерения.
7. Подставьте значения и вычислите, записав ответ в квадратных единицах.
8. Проверьте результат: сравните площадь с площадью описанного прямоугольника (она должна быть меньше) и подставьте ответ обратно в формулу.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Половина основания на высоту» — ритмическая формула треугольника; слово «половина» произносится первым, поэтому множитель ½ не теряется.
• «Полусумма оснований на высоту» — формула трапеции; полусумма оснований и есть средняя линия, значит S = m·h.
• Треугольник — «половина параллелограмма», трапеция — «два треугольника с общей высотой»: обе формулы восстанавливаются из площади параллелограмма S = a·h за один шаг.
• Формула S = ½·a·b·sin C содержит буквы a, b, C подряд: две стороны и угол между ними, никакого другого угла в ней нет.
• Обратный ход: h = 2S/a и a = 2S/h — оба выражения получаются умножением равенства S = ½·a·h на 2.