Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма — тренажёр для 8 класса

Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Определение содержит ровно два условия: AB ∥ CD и BC ∥ AD; никаких требований к длинам сторон или величинам углов в него не входит.

Место темы в курсе 8 класса определяется её служебной ролью: параллелограмм — базовая фигура, от которой наследуют свойства прямоугольник, ромб и квадрат. Каждый из этих четырёхугольников определяется как параллелограмм с дополнительным условием, поэтому все доказанные здесь факты автоматически переносятся на них.

Различение свойства и признака — смысловой стержень темы. Свойство отвечает на вопрос «что следует из того, что фигура — параллелограмм», признак — на обратный вопрос «при каком условии четырёхугольник является параллелограммом». Логически это прямое и обратное утверждения, и доказываются они по-разному.

Ключевые правила

Параллелограмм подчиняется четырём свойствам и трём признакам, которые следует знать наизусть и уметь доказывать через равенство треугольников, образованных диагональю.

Свойства (дано: ABCD — параллелограмм):

1. Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD. Пример: если AB = 6 см, то CD = 6 см без дополнительных вычислений.
2. Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Пример: ∠A = 62° ⟹ ∠C = 62°.
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (углы внутренние односторонние при параллельных прямых): ∠A + ∠B = 180°. Пример: ∠A = 62° ⟹ ∠B = 118°.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD, где O = AC ∩ BD. Точка O — середина каждой диагонали и центр симметрии фигуры.

Признаки (дано: ABCD — четырёхугольник):

1. Противоположные стороны попарно равны (AB = CD и BC = AD) ⟹ параллелограмм.
2. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD и AB ∥ CD) ⟹ параллелограмм.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD) ⟹ параллелограмм.

Признак 2 требует, чтобы равенство и параллельность относились к одной и той же паре сторон: условия «AB = CD и BC ∥ AD» недостаточно.

Разбор примеров

Пример 1. Стороны по периметру. Периметр параллелограмма равен 36 см, одна сторона на 4 см больше другой. Найти стороны. Ход: по свойству 1 периметр равен 2(a + b), значит a + b = 18. Подставляем b = a + 4: a + a + 4 = 18, a = 7, b = 11. Вывод: периметр параллелограмма всегда сводится к удвоенной сумме двух соседних сторон — четыре неизвестных превращаются в две.

Пример 2. Углы. Один угол параллелограмма равен 50°. Найти остальные. Ход: противоположный ему угол тоже 50° (свойство 2); соседний равен 180° − 50° = 130° (свойство 3); четвёртый, противоположный соседнему, — 130°. Вывод: одного угла достаточно для нахождения всех; углы идут парами 50°, 130°, 50°, 130°.

Пример 3. Диагонали и периметр треугольника. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, AC = 10 см, BD = 16 см, AB = 9 см. Найти периметр треугольника AOB. Ход: по свойству 4 AO = 10 : 2 = 5 см, BO = 16 : 2 = 8 см. Тогда P = 5 + 8 + 9 = 22 см. Вывод: точка пересечения диагоналей делит каждую пополам, поэтому в треугольнике из половин диагоналей и стороны все элементы вычисляются мгновенно.

Пример 4. Доказательство признака 3. Дано: в четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Доказать: ABCD — параллелограмм. Ход: треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD как вертикальные). Отсюда AB = CD и ∠OAB = ∠OCD, а равенство накрест лежащих углов даёт AB ∥ CD. Пара сторон равна и параллельна — по признаку 2 ABCD параллелограмм. Вывод: любое доказательство признака строится по схеме «провести диагональ → доказать равенство треугольников → получить накрест лежащие углы → сделать вывод о параллельности».

Пример 5. Биссектриса в параллелограмме. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, AB = 5 см, периметр равен 26 см. Найти BM и MC. Ход: ∠BAM = ∠MAD (биссектриса), ∠MAD = ∠AMB (накрест лежащие при BC ∥ AD). Значит ∠BAM = ∠AMB, треугольник ABM равнобедренный, BM = AB = 5 см. Из периметра: AB + BC = 13, BC = 8, MC = 8 − 5 = 3 см. Вывод: биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает равнобедренный треугольник.

Таблица

Типичные ошибки

Подмена признака свойством. Ученик в задаче «докажите, что ABCD — параллелограмм» пишет: «противоположные стороны равны, так как ABCD — параллелограмм». Причина — неразличение прямого и обратного утверждений. Неправильно: использовать доказываемый факт как данное. Правильно: из условия получить равенство сторон и сослаться на признак 1.

Равенство и параллельность разных пар сторон. Из «AB = CD и BC ∥ AD» вывод о параллелограмме не следует: такие данные допускают равнобедренную трапецию. Правильно: проверять, что равны и параллельны одни и те же стороны.

Сложение всех четырёх углов вместо соседних. Из «∠A = 70°» получают «∠B = 360° − 70° = 290°». Причина — путаница между суммой углов четырёхугольника (360°) и суммой соседних углов (180°). Правильно: ∠B = 180° − 70° = 110°.

Равенство диагоналей вместо их деления пополам. Запись «AC = BD, значит параллелограмм» ошибочна: диагонали равны только в прямоугольнике. Правильно: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, но между собой не равны.

Нумерация вершин вразнобой. Обозначение ABCD задаёт порядок обхода: противоположными являются AB и CD, BC и AD, а AC и BD — диагонали. Ошибка «AB и BC противоположны» ломает всё решение.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитать вопрос и определить тип задачи: вычислительная (найти сторону, угол, диагональ) или на доказательство (обосновать, что фигура — параллелограмм).
2. Построить чертёж, подписать вершины по порядку обхода, отметить данные и точку O пересечения диагоналей.
3. Для вычислительной задачи выбрать свойство: стороны — свойство 1 и формула P = 2(a + b); углы — свойства 2 и 3; отрезки диагоналей — свойство 4.
4. Для задачи на доказательство проверить по очереди три признака и выбрать тот, чьи условия проще получить из данных.
5. Выделить треугольники, образованные диагональю или половинами диагоналей, и доказать их равенство по одному из трёх признаков равенства треугольников.
6. Составить уравнение либо цепочку равенств и выполнить вычисления с указанием единиц измерения.
7. Проверить результат: сумма всех углов должна равняться 360°, сумма соседних — 180°, каждая сторона — меньше суммы остальных трёх, полученные длины — положительны.

Как запомнить

• «Про-про»: противоположные стороны и противоположные углы равны — оба свойства касаются противоположных элементов, соседние углы дают 180°.
• «Пополам, но не поровну»: диагонали делятся пополам, однако сами между собой не равны.
• Признаки удобно кодировать тройкой: сс (стороны попарно равны), сп (сторона равна и параллельна), дд (диагонали делятся пополам).
• Формула периметра P = 2(a + b) и равенство ∠A + ∠B = 180° закрывают большинство вычислительных задач.
• Точка O — центр симметрии: поворот на 180° вокруг неё переводит параллелограмм в себя, вершину A — в C, B — в D.