Многоугольники. Четырёхугольники. Сумма углов четырёхугольника — тренажёр для 8 класса

Раздел 1 — Определение

Многоугольник — это геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной без самопересечений вместе с частью плоскости, которую эта ломаная ограничивает. Звенья ломаной называются сторонами, концы звеньев — вершинами, а число сторон всегда равно числу вершин: многоугольник с *n* вершинами называют *n*-угольником.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Проверка проста: продлеваем каждую сторону в прямую и смотрим, не «разрезает» ли она фигуру. Если хотя бы одна прямая рассекает многоугольник на части, фигура невыпуклая.

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами; частный случай при *n* = 4. Именно четырёхугольники (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция) образуют основное содержание курса геометрии 8 класса, поэтому общие свойства многоугольников изучаются первыми — они работают как фундамент для всех дальнейших теорем.

Раздел 2 — Ключевые правила

Сумма внутренних углов выпуклого *n*-угольника вычисляется по формуле (n − 2) · 180° — фундаментальное правило темы, из которого выводятся все остальные.

1. Формула суммы углов. Диагонали, проведённые из одной вершины, делят *n*-угольник ровно на (*n* − 2) треугольника, а сумма углов каждого равна 180°. Пример: у шестиугольника (6 − 2) · 180° = 720°.
2. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Подстановка *n* = 4 даёт (4 − 2) · 180° = 360°. Пример: если три угла равны 90°, 85° и 100°, четвёртый равен 360° − 275° = 85°.
3. Число диагоналей. Формула n(n − 3)/2: из каждой вершины выходит (*n* − 3) диагонали (нельзя соединить вершину с собой и с двумя соседними), а деление на 2 убирает двойной счёт. У четырёхугольника: 4 · 1 / 2 = 2 диагонали.
4. Периметр. *P* равен сумме длин всех сторон. Для правильного *n*-угольника (все стороны и углы равны) *P* = *n* · *a*, а каждый угол равен (n − 2) · 180° / n.
5. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360° при любом *n*.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Сумма углов восьмиугольника. Подставляем *n* = 8: (8 − 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°. Восьмиугольник разбивается диагоналями из одной вершины на шесть треугольников — множитель 6 имеет наглядный геометрический смысл. Вывод: формула не запоминается механически, а «читается» как число треугольников.

Пример 2. Четвёртый угол четырёхугольника. Дано: ∠A = 75°, ∠B = 110°, ∠C = 95°. Складываем: 75 + 110 + 95 = 280°. Тогда ∠D = 360° − 280° = 80°. Действие одно — вычитание из 360°, потому что сумма всех четырёх углов фиксирована.

Пример 3. Углы, заданные отношением. Углы четырёхугольника относятся как 2 : 3 : 4 : 6. Обозначим одну часть за *x*: 2x + 3x + 4x + 6x = 15x = 360°, откуда *x* = 24°. Углы равны 48°, 72°, 96°, 144°. Проверка сложением даёт 360° — задача решена верно.

Пример 4. Число диагоналей. Сколько диагоналей у двенадцатиугольника? 12 · (12 − 3) / 2 = 12 · 9 / 2 = 54. Обратная задача: многоугольник имеет 20 диагоналей, найти *n*. Решаем n(n − 3)/2 = 20 → n² − 3n − 40 = 0 → n = 8 (корень −5 отбрасываем как не имеющий смысла).

Пример 5. Периметр и элементы. В четырёхугольнике *ABCD* периметр равен 46 см, *AB* = 12 см, *BC* = 9 см, а *CD* на 3 см больше *BC*. Тогда *CD* = 12 см, а *AD* = 46 − (12 + 9 + 12) = 13 см. Стороны находятся вычитанием известной суммы из периметра.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Умножение на 180° без вычитания двойки. Ученик пишет для пятиугольника 5 · 180° = 900°. Причина — потеря смысла формулы: треугольников разбиения на два меньше, чем вершин. Неправильно: 900°. Правильно: (5 − 2) · 180° = 540°.

Забытое деление на 2 в формуле диагоналей. Из каждой вершины выходит (*n* − 3) диагонали, но каждая диагональ соединяет две вершины и считается дважды. Неправильно: у шестиугольника 6 · 3 = 18. Правильно: 6 · 3 / 2 = 9.

Перенос суммы 180° на четырёхугольник. Привычка из курса 7 класса заставляет искать четвёртый угол как 180° минус остальные и получать отрицательное число. Правильно: сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Смешение выпуклости и правильности. Выпуклость — свойство формы, правильность — равенство всех сторон и углов. Прямоугольник со сторонами 3 и 7 выпуклый, но не правильный.

Счёт сторон вместо вершин при подстановке. В формулы подставляется *n* — число сторон, оно же число вершин; ошибка возникает при пересчёте нарисованной фигуры «на глаз». Правильно: пересчитать вершины и сверить с числом сторон.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите число сторон *n*, пересчитав вершины на чертеже или взяв из условия.
2. Установите, что требуется: сумма углов, отдельный угол, число диагоналей или периметр.
3. Для углов примените формулу (n − 2) · 180°; для четырёхугольника сразу используйте 360°.
4. Запишите уравнение: известные углы плюс неизвестное равно найденной сумме (при отношении углов введите переменную *x*).
5. Решите уравнение и найдите искомую величину.
6. Для диагоналей подставьте *n* в n(n − 3)/2; при обратной задаче решите квадратное уравнение и отбросьте отрицательный корень.
7. Для периметра сложите все стороны или вычтите известные из данного *P*.
8. Проверьте результат: сумма найденных углов должна дать (n − 2) · 180°, каждый угол выпуклого многоугольника — быть меньше 180°, а длины сторон — положительными.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Минус два треугольника» — из вершины проводятся диагонали, и *n*-угольник распадается на (*n* − 2) треугольника по 180°.
• «Три запрета» в формуле диагоналей: вершина не соединяется сама с собой и с двумя соседями, отсюда (*n* − 3).
• «Делим пополам, потому что считали дважды» — напоминание про знаменатель 2.
• Опорные числа: 360° — сумма углов четырёхугольника и сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника.
• Лестница классификации: трапеция → параллелограмм → прямоугольник/ромб → квадрат; каждый следующий вид наследует все свойства предыдущего.