Внешний угол треугольника — тренажёр для 7 класса

Определение

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при данной вершине. Образуется он продолжением одной из сторон треугольника за вершину: сторона продолжается, и между этим продолжением и второй стороной, выходящей из той же вершины, возникает новый угол.

Внутренний и внешний углы при одной вершине в сумме дают 180°, поскольку они смежные. Отсюда сразу следует расчётная формула: если внутренний угол равен α, то внешний равен 180° − α. Например, при внутреннем угле 65° внешний угол равен 115°.

Место темы в курсе 7 класса определяется теоремой о сумме углов треугольника: именно из неё выводится теорема о внешнем угле, а сама теорема о внешнем угле работает дальше — в признаках равнобедренного треугольника, в задачах на параллельные прямые и в неравенстве треугольника.

Ключевые правила

Теорема о внешнем угле треугольника утверждает: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. Формула теоремы. Для треугольника ABC внешний угол при вершине C равен ∠A + ∠B. Доказательство: ∠A + ∠B + ∠C = 180° (теорема о сумме углов), внешний угол = 180° − ∠C = ∠A + ∠B.
2. Следствие о неравенстве. Внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним, так как он равен их сумме, а величина угла положительна. При ∠A = 30° и ∠B = 40° внешний угол при C равен 70° — больше и 30°, и 40°.
3. Два внешних угла при вершине. При каждой вершине можно построить два внешних угла (продлив одну или другую сторону); они вертикальные, а значит, равны. Оба равны 180° − α.
4. Сумма внешних углов. Сумма трёх внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 540° − 180° = 360°.
5. Связь с параллельными прямыми. Внешний угол разбивается прямой, параллельной противолежащей стороне, на два угла, равных двум внутренним углам треугольника (как накрест лежащие и соответственные).

Разбор примеров

Пример 1. Прямое применение формулы. В треугольнике ABC ∠A = 42°, ∠B = 58°; найти внешний угол при вершине C. Углы A и B не смежны с внешним углом при C, поэтому складываем их: 42° + 58° = 100°. Проверка через смежность: ∠C = 180° − 100° = 80°, и 42° + 58° + 80° = 180°. Вывод: сложение двух «дальних» углов заменяет два действия одним.

Пример 2. Обратная задача. Внешний угол при вершине C равен 130°, ∠A = 55°; найти ∠B и ∠C. По теореме 130° = ∠A + ∠B, значит ∠B = 130° − 55° = 75°. Внутренний угол C смежный внешнему: ∠C = 180° − 130° = 50°. Вывод: теорема читается в обе стороны — сумму можно разложить на слагаемые.

Пример 3. Равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике с основанием AC внешний угол при вершине A равен 110°; найти все углы. Внутренний угол A равен 180° − 110° = 70°. Углы при основании равны, поэтому ∠C = 70°, а угол при вершине ∠B = 180° − 70° − 70° = 40°. Контроль по теореме: внешний угол при A равен ∠B + ∠C = 40° + 70° = 110°. Вывод: свойство равнобедренного треугольника и теорема о внешнем угле дают взаимную проверку.

Пример 4. Доказательство через параллельные прямые. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая CD, параллельная стороне AB, сторона BC продолжена за C до точки E. Угол ACD равен углу A как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC. Угол DCE равен углу B как соответственные при тех же параллельных и секущей BE. Внешний угол ACE складывается из этих двух: ∠ACE = ∠A + ∠B. Вывод: теорема о внешнем угле — прямое следствие свойств параллельных прямых.

Пример 5. Задача на параллельность. Прямые m и n пересечены секущей, треугольник ABC отсечён так, что AB лежит на m, а через C проходит n ∥ m; внешний угол при C со стороны продолжения AC равен 125°, ∠B = 70°. По теореме 125° = ∠A + ∠B, откуда ∠A = 55°. Полученное значение проверяется через параллельность: соответственный угол при прямой n тоже равен 55°. Вывод: теорема служит инструментом связывания углов при двух параллельных прямых.

Таблица

Типичные ошибки

Прибавление смежного угла. Ученик складывает все три внутренних угла или добавляет к сумме смежный. Причина — потеря слова «не смежных» в формулировке. Неправильно: внешний при C = ∠A + ∠B + ∠C. Правильно: внешний при C = ∠A + ∠B.

Подмена внешнего угла вертикальным внутренним. При продолжении обеих сторон за вершину возникает угол, вертикальный внутреннему; он равен внутреннему и внешним не является. Причина — построение «на глаз». Правильно: внешний угол опирается на одну сторону треугольника и на продолжение другой.

Уверенность, что внешний угол всегда тупой. В тупоугольном треугольнике внешний угол при тупой вершине острый: при ∠C = 120° внешний равен 60°. Причина — привычка к чертежам с остроугольными треугольниками. Правильно: сравнивать 180° − α с 90°.

Привязка внешнего угла не к той вершине. Найдя сумму ∠A + ∠B, ученик записывает её как внешний угол при A. Причина — механическое сложение без чертежа. Правильно: сумма ∠A + ∠B даёт внешний угол только при вершине C.

Игнорирование условия задачи о равенстве сторон. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и это равенство часто не используется, из-за чего задача кажется недоопределённой. Правильно: отметить равные углы на чертеже до вычислений.

Пошаговый алгоритм

1. Выполните чертёж треугольника и обозначьте вершины буквами.
2. Определите вершину, при которой рассматривается внешний угол, и продлите одну сторону за эту вершину.
3. Отметьте внутренний угол при этой вершине — он смежный искомому.
4. Выпишите два внутренних угла, не смежных с внешним: они лежат при двух других вершинах.
5. Примените теорему: внешний угол = сумма двух несмежных внутренних. Для обратной задачи вычтите известный угол из внешнего.
6. Найдите недостающие углы через смежность (180° − α) или через сумму углов треугольника (180°).
7. Проверьте результат: сумма трёх внутренних углов равна 180°, внешний угол больше каждого несмежного внутреннего, внешний и смежный внутренний в сумме дают 180°.

Как запомнить

Формула-ориентир: внешний = сумма двух дальних. «Дальние» — углы при двух других вершинах, «ближний» (смежный) в сумму не входит.

Вторая опора — двойная запись одного и того же: 180° − α = β + γ. Левая часть считает через смежность, правая — через теорему; совпадение результатов служит проверкой.

Знак неравенства запоминается фразой «внешний больше любого дальнего»: сумма двух положительных величин превышает каждое слагаемое. Для быстрой оценки: острый внутренний — тупой внешний, тупой внутренний — острый внешний.