Основные геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок, луч, угол — тренажёр для 7 класса

Определение

Основные геометрические фигуры — это точка, прямая, отрезок, луч и угол, то есть исходные объекты планиметрии, через которые в курсе геометрии 7 класса определяются все остальные фигуры. Точка и прямая относятся к неопределяемым понятиям: их смысл раскрывается не словесным определением, а свойствами и способом изображения.

Точка не имеет размеров — ни длины, ни ширины; на чертеже её изображают уколом карандаша и обозначают заглавной латинской буквой: *A*, *B*, *M*. Прямая бесконечна в обе стороны, не имеет концов и толщины; изображают часть прямой и подписывают строчной латинской буквой *a*, *b* либо двумя точками — прямая *AB*.

Отрезок, луч и угол уже определяются строго. Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами) вместе с этими точками. Луч — часть прямой, ограниченная одной точкой (началом) и бесконечная в одну сторону. Угол — фигура из двух лучей с общим началом (вершиной) и части плоскости между ними.

Раздел «Начальные понятия геометрии» открывает весь курс: без языка точек и прямых невозможно сформулировать признаки равенства треугольников, свойства параллельных прямых и теорему Пифагора.

Ключевые правила

Обозначение фигур подчиняется строгому правилу: точки — заглавными латинскими буквами, прямые — строчными или двумя точками, углы — знаком ∠ и тремя (реже одной) буквами.

1. Через две точки проходит ровно одна прямая. Через точки *A* и *B* провести вторую, отличную от *AB*, прямую невозможно — это аксиома.
2. Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо не имеют общих точек. Запись *a* ∩ *b* = *M* читается: «прямые a и b пересекаются в точке M»; запись *a* ∥ *b* — «прямые a и b параллельны».
3. Принадлежность обозначается знаками ∈ и ∉. Запись *A* ∈ *a* читается «точка A лежит на прямой a»; *B* ∉ *a* — «точка B не лежит на прямой a».
4. Отрезок имеет длину, прямая и луч — не имеют. Длину отрезка *AB* записывают как *AB* = 6 см и измеряют линейкой.
5. Точка на прямой делит её на два луча. Точка *O* на прямой порождает лучи *OA* и *OB*, называемые дополнительными.
6. В обозначении угла ∠ABC вершина стоит посередине. Буква *B* — вершина, лучи *BA* и *BC* — стороны угла.
7. Если точка лежит между двумя другими, длины складываются. Для *C* между *A* и *B*: *AC* + *CB* = *AB*.

Разбор примеров

**Пример 1. Запись *M* ∈ *a*, *N* ∉ *a*.** Знак ∈ связывает точку и прямую: *M* лежит на прямой *a*, *N* лежит вне её. На чертеже точка *M* стоит на линии, точка *N* — в стороне. Вывод: символы ∈ и ∉ применяются только в паре «точка — фигура», между двумя прямыми их ставить нельзя.

**Пример 2. Точка *C* лежит на отрезке *AB*, *AC* = 4 см, *CB* = 7 см.** Точка делит отрезок на два, длины складываются: *AB* = 4 + 7 = 11 см. Вывод: свойство измерения отрезков превращает геометрическую задачу в арифметическое действие.

**Пример 3. Лучи *OA* и *OB* с общим началом *O*.** Два луча с общей начальной точкой задают угол *AOB*; название читается «угол A-O-B», где *O* — вершина. Запись ∠*AOB* = ∠*BOA* верна, а ∠*OAB* обозначает уже другой угол — с вершиной *A*. Вывод: перестановка крайних букв допустима, перемещение средней буквы меняет фигуру.

**Пример 4. Прямые *a* и *b* пересекаются в точке *K*, прямая *c* не имеет с *a* общих точек.** Первая пара находится в отношении пересечения: *a* ∩ *b* = *K*; вторая — в отношении параллельности: *a* ∥ *c*. Вывод: взаимное расположение двух прямых на плоскости описывается лишь двумя случаями.

**Пример 5. Отрезок *AB* и луч *AB*.** Обе фигуры начинаются в точке *A* и проходят через *B*, но отрезок обрывается в *B*, а луч продолжается за *B* бесконечно. Вывод: одинаковые буквы при разных названиях дают разные фигуры — читать нужно слово, а не только буквы.

Таблица

Типичные ошибки

Обозначение точки строчной буквой. Причина — смешение алфавита прямых и точек. Неправильно: «точка *m*». Правильно: точка *M*, прямая *m*.

Приписывание прямой длины. Ошибка возникает из-за того, что на чертеже прямая нарисована отрезком в 8 см. Неправильно: «длина прямой *a* равна 8 см». Правильно: измеряют длину отрезка, прямая бесконечна.

Неверная вершина в названии угла. Ученик записывает буквы в порядке чтения чертежа. Неправильно: ∠*ABC*, где вершина — точка *A*. Правильно: ∠*BAC*, вершина всегда в середине.

**Путаница лучей *AB* и *BA*.** Название луча начинается с его начала. Луч *AB* исходит из *A*, луч *BA* — из *B*; это разные фигуры, хотя обозначены теми же буквами.

Знак ∈ между двумя прямыми. Причина — механическое копирование символа. Неправильно: *a* ∈ *b*. Правильно: *a* ∩ *b* = *M*.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и выпишите все названные фигуры, определив тип каждой по слову: «точка», «прямая», «отрезок», «луч», «угол».
2. Обозначьте фигуры буквами по правилу: точки — заглавные, прямые — строчные.
3. Постройте чертёж: сначала прямые и лучи, затем отметьте точки, затем выделите отрезки.
4. Переведите словесные отношения в символы: «лежит на» → ∈, «пересекаются» → ∩, «параллельны» → ∥.
5. Отметьте известные длины у отрезков и градусные меры у углов прямо на чертеже.
6. Найдите неизвестную величину, применив сложение длин *AC* + *CB* = *AB* или сложение углов.
7. Проверьте результат: подставьте найденное число обратно в равенство и сравните с чертежом — большая часть отрезка должна выглядеть длиннее меньшей.

Как запомнить

• «Точка — Точно заглавная»: обе фигуры-«точки» пишутся с большой буквы.
• Луч — как луч фонарика: начало есть, конца нет.
• Отрезок «отрезан» с двух сторон — потому и измеряется.
• Вершина угла — «в серединке»: в записи ∠*ABC* буква *B* стоит второй.
• Символ ∥ похож на две рельсы, которые никогда не сойдутся.
• Формула отрезка: *AB* = *AC* + *CB*, если *C* между *A* и *B*.