Виды углов и их измерение — тренажёр для 7 класса

Определение

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называются сторонами угла, их общее начало — вершиной угла. Запись ∠AOB читается «угол AOB», где буква O в середине обозначает вершину.

Каждый угол имеет градусную меру — положительное число, показывающее, сколько раз в угле укладывается градус (1/180 часть развёрнутого угла). Обозначение: ∠AOB = 45°. Измерение углов ставит геометрию на числовую основу: фигуры перестают сравниваться «на глаз» и начинают сравниваться вычислением.

Тема занимает место сразу после изучения отрезков и их измерения и служит фундаментом для признаков равенства треугольников, теоремы о сумме углов треугольника и всей теории параллельных прямых. Без умения находить смежные и вертикальные углы задачи следующих глав не решаются.

Ключевые правила

Градусная мера угла подчиняется четырём основным законам, которые применяются в любой задаче на вычисление углов.

1. Аддитивность. Если луч OC проходит между сторонами угла AOB, то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Пример: ∠AOC = 30°, ∠COB = 40°, значит ∠AOB = 70°.
2. Классификация по величине. Угол острый, если 0° < α < 90°; прямой, если α = 90°; тупой, если 90° < α < 180°; развёрнутый, если α = 180°; полный, если α = 360°. Пример: 89° — острый, 91° — тупой.
3. Свойство смежных углов. Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую; их сумма равна 180°. Пример: если один угол 115°, смежный с ним равен 180° − 115° = 65°.
4. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого; вертикальные углы равны. Пример: при пересечении двух прямых углы 40°, 140°, 40°, 140° идут по кругу.
5. Биссектриса. Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам. Если OM — биссектриса ∠AOB, то ∠AOM = ∠MOB = ∠AOB : 2.

Разбор примеров

Пример 1. Классификация. Даны углы 17°, 90°, 134°, 180°, 360°. Сравниваем каждое число с опорными значениями 90° и 180°: 17° меньше 90° — острый; 90° совпадает с границей — прямой; 134° лежит между 90° и 180° — тупой; 180° — развёрнутый; 360° — полный. Вывод: классификация угла — сравнение его меры с двумя числами, 90 и 180, а не оценка «на глаз».

Пример 2. Смежные углы. Один из смежных углов на 40° больше другого. Найти оба. Обозначим меньший угол x, тогда больший равен x + 40. Составляем уравнение по свойству смежных углов: x + (x + 40) = 180, отсюда 2x = 140, x = 70. Углы: 70° и 110°. Вывод: любая задача «сумма 180° + связь между углами» сводится к линейному уравнению с одной переменной.

Пример 3. Вертикальные углы. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, ∠AOC = 62°. Найти ∠BOD и ∠AOD. Углы AOC и BOD вертикальные, значит ∠BOD = 62°. Углы AOC и AOD смежные, значит ∠AOD = 180° − 62° = 118°. Вывод: при пересечении двух прямых достаточно знать один угол — остальные три вычисляются двумя действиями.

Пример 4. Биссектриса. Луч OM — биссектриса развёрнутого угла AOB, луч OK — биссектриса угла AOM. Найти ∠KOB. Развёрнутый угол равен 180°, значит ∠AOM = 180 : 2 = 90°. Далее ∠AOK = 90 : 2 = 45°. По аддитивности ∠KOB = ∠KOM + ∠MOB = 45° + 90° = 135°. Вывод: биссектриса развёрнутого угла перпендикулярна его сторонам; последовательное деление пополам решается делением на 2 и сложением.

Пример 5. Построение. Построить угол 125° транспортиром. Проводим луч OA, совмещаем центр транспортира с точкой O, а луч OA — с нулевым штрихом. Отсчитываем по той шкале, которая начинается нулём на луче OA, находим штрих 125, ставим точку B, проводим луч OB. Вывод: выбор шкалы определяется положением нуля, а не привычкой читать «слева направо».

Таблица

Типичные ошибки

Чтение не той шкалы транспортира. Ошибка возникает потому, что транспортир имеет две шкалы отсчёта — от 0 слева и от 0 справа. Неправильно: угол 50° записан как 130°. Правильно: отсчёт ведётся по шкале, ноль которой лежит на стороне угла.

Смешение смежных и вертикальных углов. Причина — оба вида появляются на одном чертеже пересечения прямых. Неправильно: «вертикальные углы в сумме дают 180°». Правильно: вертикальные равны, смежные дают в сумме 180°.

Определение вида угла по длине сторон. Стороны угла — лучи, они бесконечны, и нарисованная длина не влияет на меру. Неправильно: «этот угол больше, у него стороны длиннее». Правильно: сравниваются градусные меры.

Деление на 2 не того угла. При работе с биссектрисой ученик делит пополам итоговый, а не исходный угол. Неправильно: ∠AOB = 70°, биссектриса даёт «35° и 70°». Правильно: 35° и 35°, их сумма — 70°.

Потеря условия «луч лежит внутри угла». Без этого условия равенство ∠AOB = ∠AOC + ∠COB не выполняется. Правильно: сначала проверить по чертежу, проходит ли луч между сторонами.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитать условие и построить чертёж, обозначив вершины и лучи буквами.
2. Отметить на чертеже известные градусные меры.
3. Определить конфигурацию: смежные углы, вертикальные углы, биссектриса или разбиение угла лучом.
4. Выписать соответствующее равенство: α + β = 180°, α = β или ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
5. Обозначить неизвестную величину буквой x и составить уравнение.
6. Решить уравнение и вычислить все требуемые углы.
7. Проверить результат: сумма смежных равна 180°, каждый найденный угол положителен, вид угла соответствует чертежу (острый на рисунке не может оказаться 130°).

Как запомнить

• «Острый — острие иглы, узкий»: меньше 90°. «Тупой — тупой нож, широкий»: больше 90°.
• Прямой угол = угол листа бумаги; развёрнутый = развёрнутый, выпрямленный лист в прямую линию.
• Смежные — «с межой», у них общая граница-сторона, и они делят между собой 180°.
• Вертикальные лежат «напротив через вершину» — равны, как отражение.
• Формулы одной строкой: β = 180° − α (смежные); α = β (вертикальные); часть = α : 2 (биссектриса).