Треугольник и его элементы — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, отрезки — сторонами треугольника.

Три вершины задают три угла: каждый угол образован двумя сторонами, выходящими из одной вершины. Поэтому у любого треугольника ровно шесть основных элементов — три стороны и три угла, и работа с фигурой сводится к работе с этими шестью величинами.

Треугольник открывает систематический курс планиметрии в 7 классе, потому что он — простейший многоугольник: у фигуры с меньшим числом сторон замкнутой ломаной не получится. Через треугольник вводятся признаки равенства фигур, свойства равнобедренного треугольника, соотношения между сторонами и углами.

Внутри треугольника проводят три вида особых отрезков — медианы, биссектрисы и высоты. Они связывают вершины со сторонами и служат основным инструментом доказательств в последующих темах.

Раздел 2 — Ключевые правила

Треугольник обозначают знаком △ и тремя буквами вершин: △ABC читается «треугольник A, B, C», порядок букв допускает любую перестановку.

1. Стороны и углы связаны отношением противолежания. В △ABC сторона BC противолежит углу A, сторона AC — углу B, сторона AB — углу C. Стороны часто обозначают малыми буквами: a = BC, b = AC, c = AB.
2. Периметр равен сумме длин всех сторон: P = a + b + c. Для сторон 5 см, 6 см, 8 см получаем P = 19 см.
3. Классификация по сторонам. Разносторонний — все стороны различны; равнобедренный — две стороны равны (они называются боковыми, третья — основанием); равносторонний — все три стороны равны. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.
4. Классификация по углам определяется наибольшим углом. Все углы острые — остроугольный; есть прямой угол — прямоугольный; есть тупой угол — тупоугольный. Двух прямых или двух тупых углов в треугольнике быть не может.
5. Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. Медиана BM означает, что AM = MC.
6. Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной. Биссектриса AK делит угол A на два равных угла.
7. Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону. Высота BH даёт ∠BHA = 90°.
8. Каждый из трёх видов отрезков пересекается в одной точке. Три медианы, три биссектрисы, три высоты (или их продолжения) имеют общую точку пересечения.
9. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины к основанию, совпадают — это один и тот же отрезок.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Стороны треугольника равны 7 см, 9 см и 12 см. Найти периметр. Складываем все три длины: P = 7 + 9 + 12 = 28 (см). Здесь работает прямое применение формулы: периметр — сумма, а не произведение, единицы измерения сохраняются линейные.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике основание равно 14 см, периметр — 34 см. Найти боковую сторону. Из периметра вычитаем основание: 34 − 14 = 20 (см) — сумма двух равных боковых сторон. Делим пополам: 20 : 2 = 10 (см). Вывод: равенство двух сторон превращает задачу в одно уравнение с одним неизвестным.

Пример 3. Периметр равностороннего треугольника равен 48 дм. Найти сторону. Все стороны равны, значит P = 3a, откуда a = 48 : 3 = 16 (дм). Обратный ход — по стороне 16 дм периметр равен 48 дм, ответ согласован.

Пример 4. Углы треугольника равны 20°, 40° и 120°. Определить вид. Наибольший угол 120° больше 90°, следовательно, треугольник тупоугольный. Проверять остальные углы не нужно: вид по углам задаёт только максимальный угол.

Пример 5. В тупоугольном △ABC с тупым углом B проведена высота из вершины A. Перпендикуляр из A не попадает на отрезок BC — основание высоты H лежит на продолжении стороны BC за точку B. Вывод: высота треугольника опускается на прямую, содержащую сторону, и может оказаться вне фигуры.

Пример 6. В △ABC проведена медиана BM; AB = 9 см, BC = 5 см. Сравнить периметры △ABM и △CBM. P(ABM) = AB + BM + AM, P(CBM) = BC + BM + MC. Так как AM = MC и BM общая, разность периметров равна AB − BC = 4 см. Медиана делит треугольник на два треугольника, периметры которых отличаются на разность боковых сторон.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Смешение биссектрисы угла и биссектрисы треугольника. Ошибка возникает из-за одинакового названия: биссектриса угла — луч, бесконечный; биссектриса треугольника — отрезок с концами в вершине и на противолежащей стороне. Неправильно: «биссектриса AK продолжается за сторону BC». Правильно: AK заканчивается в точке K ∈ BC.

Убеждение, что высота всегда внутри треугольника. Причина — привычка к чертежам остроугольных фигур. В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон. Неправильно: «высоты из острых вершин не существует». Правильно: основание высоты лежит на прямой BC вне отрезка BC.

Путаница основания и боковой стороны. При периметре 34 см и основании 14 см ученик делит 34 : 3 или вычитает боковую сторону вместо основания. Неправильно: 34 : 3 ≈ 11,3 см. Правильно: (34 − 14) : 2 = 10 см.

Отрицание того, что равносторонний треугольник равнобедренный. Определение требует наличия хотя бы двух равных сторон, а три равные стороны это условие выполняют. Правильно: множество равносторонних треугольников входит в множество равнобедренных.

Определение вида по одному острому углу. Угол 40° встречается и в прямоугольном, и в тупоугольном треугольнике. Правильно: смотреть на наибольший угол.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и выпишите данные: длины сторон, величины углов, названия проведённых отрезков.
2. Постройте чертёж и подпишите вершины буквами; отметьте равные стороны штрихами, равные углы — дугами.
3. Определите вид треугольника по сторонам: сравните a, b, c.
4. Определите вид по углам: найдите наибольший угол и сравните его с 90°.
5. Выберите формулу или свойство: для периметра — P = a + b + c; для равнобедренного — равенство боковых сторон; для медианы — равенство отрезков стороны; для высоты — прямой угол.
6. Составьте выражение или уравнение и выполните вычисления, сохраняя единицы измерения.
7. Проверьте результат: длины сторон положительны, сумма любых двух сторон больше третьей, сумма найденных сторон совпадает с заданным периметром.

Раздел 7 — Как запомнить

Названия отрезков закрепляются по смыслу корня и по «конечной точке»:

• Медиана — от латинского *medius* («средний»): ведёт в середину стороны, обе буквы-ориентира «М–С».
• Биссектриса — от *bis seco* («рассекаю надвое»): рассекает угол пополам; ориентир — дуги на чертеже.
• Высота — всегда прямой угол: ориентир — квадратик 90° у основания перпендикуляра.

Короткая схема видов: «по сторонам считаем равенства (3–2–0), по углам смотрим на самый большой». Формулы для быстрого счёта: P = a + b + c; равнобедренный — P = 2a + b, где b — основание; равносторонний — P = 3a, а сторона a = P : 3.