Признаки равенства треугольников (I, II, III) — тренажёр для 7 класса

Определение

Признаки равенства треугольников — это теоремы, которые позволяют установить равенство двух треугольников по трём парам соответственно равных элементов, не проверяя совпадения всех шести элементов (трёх сторон и трёх углов).

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Определение неудобно для практики: наложение нельзя выполнить в задаче на доказательство. Признаки заменяют проверку наложения проверкой трёх числовых условий.

Место темы в курсе 7 класса — фундамент всей планиметрии. Через признаки доказываются свойства равнобедренного треугольника, признаки параллельности прямых, свойства окружности; без них невозможен переход к четырёхугольникам в 8 классе.

Обратное направление работает как инструмент: из доказанного равенства треугольников следует равенство всех соответственных сторон и углов. Формулировка-ключ: «в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы».

Ключевые правила

Каждый признак требует ровно трёх пар равных элементов, причём расположение этих элементов строго фиксировано.

1. Первый признак (по двум сторонам и углу между ними, СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: наложим △ABC на △A₁B₁C₁ так, чтобы A совпала с A₁, луч AB пошёл по лучу A₁B₁, а C легла в одной полуплоскости с C₁. Из ∠A = ∠A₁ луч AC пойдёт по лучу A₁C₁; из AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁ точки B и C совпадут с B₁ и C₁. Треугольники совместились.
2. Второй признак (по стороне и двум прилежащим углам, УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого, треугольники равны. Доказательство: при том же наложении B совпадает с B₁ (AB = A₁B₁), из ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁ лучи AC и BC пойдут по лучам A₁C₁ и B₁C₁, а их точка пересечения C совпадёт с C₁.
3. Третий признак (по трём сторонам, ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, треугольники равны. Доказательство: приложим △ABC к △A₁B₁C₁ так, чтобы AB совместилась с A₁B₁, а вершины C₂ (образ C) и C₁ оказались по разные стороны от прямой A₁B₁. Отрезок C₁C₂ даёт два равнобедренных треугольника A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂, углы при их основаниях равны, значит ∠A₁C₁B₁ = ∠A₁C₂B₁, и остаётся применить первый признак.
4. Правило соответствия. Запись △ABC = △A₁B₁C₁ означает A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁; перестановка букв меняет смысл утверждения.
5. Скрытые данные. Общая сторона равна сама себе, вертикальные углы равны, середина отрезка даёт две равные части — эти факты засчитываются как пары равных элементов.

Разбор примеров

Пример 1 (СУС, биссектриса). В △ABC дано AB = AC, AD — биссектриса угла A, D ∈ BC. Доказать: △ABD = △ACD. В треугольниках ABD и ACD: AB = AC (дано), ∠BAD = ∠CAD (AD — биссектриса), AD — общая сторона. Угол лежит между сторонами AB и AD в первом треугольнике и между AC и AD во втором. Вывод: равенство по первому признаку, отсюда BD = DC и ∠B = ∠C.

Пример 2 (СУС, вертикальные углы). Отрезки AB и CD пересекаются в точке O — середине каждого из них. Доказать: △AOC = △BOD. AO = OB и CO = OD по условию (середина), ∠AOC = ∠BOD как вертикальные. Угол заключён между данными сторонами, значит работает первый признак. Следствие: AC = BD и ∠OAC = ∠OBD, что даёт AC ∥ BD по накрест лежащим углам.

Пример 3 (УСУ, общая сторона). Дано: ∠CAB = ∠DBA, ∠CBA = ∠DAB. Доказать: △ABC = △BAD. Сторона AB общая, к ней прилежат углы A и B в каждом треугольнике. Соответствие вершин: A↔B, B↔A, C↔D. Три пары элементов — сторона между двумя углами — второй признак. Следствие: AC = BD, BC = AD.

Пример 4 (ССС, доказательство параллельности). В четырёхугольнике ABCD известно AB = CD и BC = AD. Доказать: BC ∥ AD. Проведём диагональ AC. В △ABC и △CDA: AB = CD, BC = DA, AC — общая. Три пары сторон — третий признак. Из равенства получаем ∠BCA = ∠DAC, а равенство накрест лежащих углов при секущей AC даёт BC ∥ AD.

Пример 5 (когда признак не применим). Дано AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁. Угол A прилежит к стороне AB, но не заключён между AB и BC — он лежит против стороны BC. Схема «ССУ» признаком не является: по таким данным строятся два неравных треугольника (остроугольный и тупоугольный). Вывод: проверять надо не количество совпадений, а взаимное расположение элементов.

Таблица

Типичные ошибки

Неверное соответствие вершин. Возникает из-за копирования порядка букв из чертежа без проверки. Неправильно: «△ABC = △ABD, значит AC = AD и BC = BD» при том, что доказано △ABC = △BAD. Правильно: сначала выписать пары A↔B, B↔A, C↔D, затем читать следствия — AC = BD.

Применение первого признака к углу не между сторонами. Ученик считает три совпадения достаточными. Неправильно: «AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁ — по первому признаку». Правильно: для сторон AB и BC общей вершиной служит B, значит нужен ∠B = ∠B₁.

Подмена равенства «одинаковой формой». Причина — опора на глаз, а не на данные. Неправильно: «углы попарно равны, треугольники равны». Правильно: равенство трёх углов задаёт только форму; нужна хотя бы одна пара равных сторон.

Использование недоказанного факта как данного. Ошибка появляется, когда доказываемое равенство сторон подставляют в перечень условий. Правильно: в список из трёх пар входят только условие задачи, общие элементы и ранее доказанные утверждения.

Пропуск скрытых равенств. Ученик не видит третьей пары и заявляет о нехватке данных. Правильно: проверить общую сторону (AD = AD), вертикальные углы, середины, биссектрисы, перпендикуляры — они дают недостающий элемент.

Пошаговый алгоритм

1. Выделите на чертеже два треугольника, равенство которых ведёт к требуемому выводу.
2. Выпишите столбиком все данные условия, относящиеся к этим треугольникам.
3. Добавьте скрытые равенства: общую сторону, общий или вертикальный угол, равные части отрезка.
4. Сопоставьте вершины: определите, какая вершина первого треугольника переходит в какую вершину второго.
5. Сосчитайте пары равных элементов и определите их тип: С-У-С, У-С-У или С-С-С.
6. Проверьте расположение: угол между сторонами для первого признака, сторона между углами для второго.
7. Запишите вывод в виде △… = △… с правильным порядком букв и укажите номер признака.
8. Извлеките следствие: равенство нужной стороны или угла как соответственных элементов.
9. Выполните проверку — подставьте найденные равенства обратно в условие и убедитесь, что все шесть элементов согласуются, а искомое утверждение доказано.

Как запомнить

Три схемы кодируются буквами: СУС, УСУ, ССС — в каждой букве стоят элементы в порядке обхода треугольника, поэтому средняя буква показывает, что находится между двумя другими.

Формула-подсказка: «угол между сторонами — первый, сторона между углами — второй, только стороны — третий».

Слова-ориентиры условия: «середина» → две равные части; «биссектриса» → два равных угла; «общая сторона» → бесплатная пара; «пересекаются» → вертикальные углы.

Комбинации ССУ и УУУ запоминаются как запретные: две стороны с углом «не на месте» и три угла равенства не гарантируют.