Равнобедренный треугольник и его свойства — тренажёр для 7 класса

Определение

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием. Угол между боковыми сторонами носит название угла при вершине, два угла, прилежащие к основанию, — углов при основании.

Равнобедренный треугольник занимает в курсе 7 класса место первой «фигуры с внутренней симметрией»: все его свойства выводятся из признаков равенства треугольников, изученных непосредственно перед этой темой. Ученик впервые видит, как одно определение порождает цепочку доказанных утверждений.

Равносторонний треугольник (все три стороны равны) — частный случай равнобедренного: любую его сторону можно объявить основанием. Обратное неверно: равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, 8 равносторонним не является.

Обозначение записывается строго: в треугольнике *ABC* с равенством *AB = AC* основанием служит *BC*, вершиной — точка *A*.

Ключевые правила

Равнобедренный треугольник подчиняется двум теоремам-свойствам и двум признакам, которые нельзя путать местами: свойство идёт от равенства сторон к равенству углов, признак — обратно.

1. Теорема о углах при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если *AB = AC*, то ∠*B* = ∠*C*. Доказательство: проведём биссектрису *AD*; треугольники *ABD* и *ACD* равны по первому признаку (*AB = AC*, *AD* — общая, ∠*BAD* = ∠*CAD*), значит ∠*B* = ∠*C*.
2. Теорема о биссектрисе. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Из того же равенства треугольников: *BD = DC* (медиана) и ∠*ADB* = ∠*ADC* = 90°, поскольку их сумма равна 180° (высота).
3. Признак по углам. Если два угла треугольника равны, треугольник равнобедренный. Пример: ∠*B* = ∠*C* = 40° ⟹ *AB = AC*. Доказывается биссектрисой *AD* и вторым признаком равенства треугольников.
4. Признак по совпадению линий. Если медиана треугольника является высотой (или биссектриса — медианой), треугольник равнобедренный. Пример: *BD = DC* и *AD* ⊥ *BC* ⟹ *AB = AC*.
5. Сумма углов. Углы связаны формулой: ∠вершины + 2·∠основания = 180°. Отсюда ∠основания = (180° − ∠вершины) : 2.

Разбор примеров

Пример 1. В треугольнике *ABC*: *AB = AC*, ∠*A* = 40°. Найти ∠*B* и ∠*C*. Равные боковые стороны дают ∠*B* = ∠*C*. Подставляем в формулу: 2∠*B* = 180° − 40° = 140°, ∠*B* = ∠*C* = 70°. Вывод: угол при вершине однозначно задаёт углы при основании.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 65°. Найти угол при вершине. Второй угол при основании тоже 65°, их сумма 130°. Угол при вершине: 180° − 130° = 50°. Вывод: обратный ход формулы работает без дополнительных построений.

Пример 3. В треугольнике углы равны 50° и 80°. Доказать, что он равнобедренный. Третий угол: 180° − 50° − 80° = 50°. Два угла оказались равны, следовательно по признаку треугольник равнобедренный, а равные стороны лежат против углов в 50°. Вывод: признак применяется после вычисления недостающего угла.

Пример 4. *AB = AC*, *AD* — биссектриса угла *A*, *BC* = 12 см, *AD* = 8 см. Найти *BD* и ∠*ADC*. Биссектриса к основанию является медианой: *BD = DC* = 12 : 2 = 6 см. Она же высота: ∠*ADC* = 90°. Вывод: одна проведённая линия сразу даёт три факта.

Пример 5. Периметр равнобедренного треугольника 34 см, боковая сторона 13 см. Найти основание. Две боковые стороны дают 26 см, основание: 34 − 26 = 8 см. Проверка неравенства треугольника: 13 < 13 + 8 — верно. Вывод: после нахождения стороны обязательна проверка существования треугольника.

Таблица

Типичные ошибки

Путаница свойства и признака. Ошибка возникает из-за похожих формулировок. Свойство: «равны стороны ⟹ равны углы». Признак: «равны углы ⟹ равны стороны». Неправильно: «углы при основании равны, значит треугольник равнобедренный — по свойству». Правильно: «…по признаку».

Основание считают равным боковой стороне. Причина — привычка к симметричному чертежу. Неправильно: периметр 30, боковая 12, основание 12. Правильно: 30 − 12 · 2 = 6.

Совпадение линий переносят на любую сторону. Медианой и высотой одновременно является только линия, проведённая из вершины к основанию. Неправильно: биссектриса из угла *B* делит *AC* пополам. Правильно: такое верно лишь для биссектрисы из вершины *A*.

Угол при вершине делят пополам вместо вычитания. Неправильно: при ∠*A* = 40° углы основания по 20°. Правильно: (180° − 40°) : 2 = 70°.

Пропуск проверки неравенства треугольника. Найденное основание может оказаться слишком длинным. Неправильно: боковые 3 и 3, основание 10. Правильно: 3 + 3 = 6 < 10 — треугольника не существует.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и отметьте на чертеже равные стороны одинаковыми штрихами.
2. Определите основание — сторону, не равную двум остальным, и вершину напротив него.
3. Отметьте равные углы при основании (следствие из равенства боковых сторон).
4. Выберите инструмент: для углов — формулу ∠вершины + 2∠основания = 180°; для сторон — периметр или равенство отрезков.
5. Если в условии есть биссектриса, медиана или высота из вершины, замените её сразу тремя свойствами: делит угол пополам, делит основание пополам, перпендикулярна основанию.
6. Составьте уравнение, обозначив неизвестный угол или сторону через *x*.
7. Решите уравнение и запишите ответ с единицами измерения.
8. Проверьте результат: сумма углов равна 180°, каждая сторона меньше суммы двух других.

Как запомнить

Формула-опора: ∠вершины + 2·∠основания = 180° — из неё выводится любая угловая задача темы.

Мнемоника для трёх линий: «из вершины — три в одной»: биссектриса, медиана и высота из вершины равнобедренного треугольника сливаются в один отрезок.

Различение свойства и признака: свойство читается «от сторон к углам», признак — «от углов к сторонам». Стрелка направления и решает, какую теорему называть в доказательстве.

Ориентир на чертеже: равные стороны всегда «смотрят» на равные углы — против большей стороны лежит больший угол, против равных сторон — равные углы.