Перпендикулярные и наклонные прямые — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Перпендикулярные прямые — это две прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°); перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, — отрезок, соединяющий эту точку с прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной.

Конец такого отрезка на прямой называют основанием перпендикуляра. Любой другой отрезок, соединяющий ту же точку с точкой прямой, называют наклонной, а отрезок между основанием перпендикуляра и концом наклонной — проекцией наклонной на прямую.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Определение опирается на теорему: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один, — поэтому расстояние определено однозначно.

Место темы в курсе 7 класса: перпендикуляр и наклонная опираются на теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника (против большего угла лежит большая сторона) и готовят изучение высот треугольника, свойств биссектрисы и теоремы Пифагора в 8 классе.

Раздел 2 — Ключевые правила

Перпендикуляр из точки к прямой всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой.

1. Единственность перпендикуляра. Из точки A, не лежащей на прямой a, проводится ровно один перпендикуляр AH ⊥ a. Наклонных из точки A к прямой a — бесконечно много.
2. Прямоугольный треугольник. Перпендикуляр AH, наклонная AM и проекция HM образуют прямоугольный треугольник AHM с прямым углом при вершине H. Перпендикуляр и проекция — катеты, наклонная — гипотенуза.
3. Теорема о перпендикуляре и наклонной. AH < AM для любой точки M ∈ a, M ≠ H. Причина: угол AHM = 90° — наибольший угол треугольника AHM, а против большего угла лежит большая сторона.
4. Равные наклонные — равные проекции. Если AM = AK, то HM = HK: прямоугольные треугольники AHM и AHK равны по гипотенузе и общему катету AH.
5. Расстояние измеряется только перпендикуляром. Записи «расстояние от A до a равно AM», где AM — наклонная, ошибочны: AM > AH.
6. Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра из любой точки одной прямой на другую; это число одинаково для всех точек.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH = 6 см и наклонная AM. Может ли AM = 5 см?

В треугольнике AHM угол H прямой, значит AM — гипотенуза, а AH — катет. Гипотенуза больше катета, поэтому AM > 6 см. Вывод: значение 5 см невозможно; наклонная не бывает короче перпендикуляра.

Пример 2. AH ⊥ a, AH = 4 см, наклонная AM образует с прямой a угол 30°. Найдите AM.

В прямоугольном треугольнике AHM угол H = 90°, угол M = 30°, катет AH лежит против угла 30°. По свойству катет против угла 30° равен половине гипотенузы: AH = ½·AM, откуда AM = 2·AH = 8 см. Вывод: наклонная вычисляется через углы прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром и проекцией.

Пример 3. Из точки B к прямой b проведены наклонные BM = BK = 13 см, основание перпендикуляра — точка H, HM = 5 см. Найдите HK.

Треугольники BHM и BHK прямоугольные, BM = BK (гипотенузы), BH — общий катет. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету они равны, значит HM = HK = 5 см. Вывод: равные наклонные отсекают на прямой равные проекции.

Пример 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC = 10 см проведена высота AH = 12 см. Чему равно расстояние от вершины A до прямой BC?

Высота AH перпендикулярна BC по определению, её основание H лежит на прямой BC. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, поэтому оно равно 12 см; стороны AB и AC — наклонные и больше 12 см. Вывод: высота треугольника и есть расстояние от вершины до прямой, содержащей противоположную сторону.

Пример 5. Точка C удалена от прямой c на 7 см. Существует ли на прямой c точка, удалённая от C на 7 см и не совпадающая с основанием перпендикуляра?

Любая другая точка прямой соединена с C наклонной, а наклонная строго больше 7 см. Вывод: ближайшая точка прямой к данной точке — единственная, это основание перпендикуляра.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Ошибка «расстояние по наклонной». Ученик измеряет линейкой отрезок до произвольной точки прямой. Причина — бытовое понимание слова «расстояние». *Неправильно:* ρ(A; a) = AM = 9 см. *Правильно:* сначала опустить AH ⊥ a, затем ρ(A; a) = AH.

Ошибка «перпендикуляр не достаёт до прямой». Основание ставят вне прямой, если прямая коротко начерчена. Причина — смешение отрезка и прямой. *Правильно:* продлить прямую и поставить H на её продолжении.

Ошибка «наклонная равна перпендикуляру». Появляется при небрежном чертеже, где отрезки визуально одинаковы. *Правильно:* сравнивать не по рисунку, а по теореме: катет < гипотенузы, значит AH < AM всегда.

Ошибка «проекция = наклонная». Путают отрезок HM на прямой и отрезок AM к точке. *Правильно:* проекция лежит на прямой a, наклонная выходит из точки A.

Ошибка «высота проведена к стороне, а не к прямой». В тупоугольном треугольнике основание высоты попадает на продолжение стороны, и ученик считает построение неверным. *Правильно:* перпендикуляр опускают на прямую, содержащую сторону.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Отметьте данную прямую a и точку A вне неё.
2. Постройте перпендикуляр: раствором циркуля из A сделайте засечки на прямой a в точках P и Q, затем из P и Q равными радиусами — засечки по другую сторону от a, точку пересечения соедините с A.
3. Обозначьте основание перпендикуляра буквой H и поставьте знак прямого угла.
4. Проведите наклонную AM к произвольной точке M прямой a.
5. Выделите прямоугольный треугольник AHM: катеты AH и HM, гипотенуза AM.
6. Запишите известные величины и примените теорему о перпендикуляре и наклонной либо свойства прямоугольного треугольника (сумма острых углов 90°, катет против угла 30° равен половине гипотенузы).
7. Найдите искомую величину и запишите ответ с указанием единиц.
8. Проверьте результат: перпендикуляр должен оказаться меньше каждой наклонной, а равным наклонным должны соответствовать равные проекции.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Прямо — коротко, косо — длинно»: прямой путь к прямой (перпендикуляр) короче любого косого (наклонной).
• «Гипотенуза — главная»: наклонная всегда гипотенуза, перпендикуляр — катет; катет < гипотенузы.
• Формула-ориентир: ρ(A; a) = AH, где AH ⊥ a, и AH < AM для любой M ≠ H.
• Знак прямого угла на чертеже — метка того единственного отрезка, длина которого называется расстоянием.
• Проверка через угол: если против отрезка в треугольнике стоит угол 90°, отрезок — наибольшая сторона.