Механическое движение: путь, скорость, ускорение (кинематика) — тренажёр для 9 класса

Определение

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени; в кинематике 9 класса такое движение описывают количественно, не выясняя его причин.

Описать движение можно только тогда, когда выбрана система отсчёта — совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени. Смена тела отсчёта меняет результат: пассажир, сидящий в вагоне, покоится относительно вагона и движется со скоростью 90 км/ч относительно платформы. Это свойство называют относительностью движения.

Кинематика оперирует четырьмя величинами. Траектория — линия, по которой движется тело; путь *s* — длина траектории (скаляр, всегда s ≥ 0); перемещение *s⃗* — вектор из начальной точки в конечную; скорость и ускорение показывают, как быстро меняются положение и скорость.

Раздел кинематики открывает механику: без умения вычислять скорость и ускорение невозможно перейти к законам Ньютона, где ускорение связывается с силой.

Ключевые правила

Кинематика описывает движение тремя группами формул: для равномерного, для равноускоренного и для средней скорости.

1. Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной скоростью: v = s / t, отсюда s = v·t. Автомобиль при v = 20 м/с за 30 с проходит 600 м.
2. Мгновенная скорость — скорость в данной точке траектории; спидометр показывает именно её. При равномерном движении мгновенная скорость совпадает со средней.
3. Средняя скорость вычисляется только через весь путь и всё время: v_ср = s_общ / t_общ. Складывать и делить пополам сами скорости нельзя.
4. Ускорение — векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = (v − v₀) / t, единица — м/с². Ускорение 3 м/с² означает: каждую секунду скорость растёт на 3 м/с.
5. Равноускоренное прямолинейное движение описывают формулы v = v₀ + a·t, s = v₀·t + a·t²/2, s = (v² − v₀²) / (2a).
6. Криволинейное движение — движение по траектории-кривой; скорость направлена по касательной, а ускорение существует даже при постоянном модуле скорости, так как меняется её направление.
7. Графики: угол наклона графика x(t) даёт скорость, угол наклона v(t) даёт ускорение, площадь под графиком v(t) численно равна пути.

Разбор примеров

Пример 1. Равномерное движение. Велосипедист едет со скоростью 5 м/с в течение 12 мин. Переводим время: t = 720 с. Путь s = v·t = 5 · 720 = 3600 м = 3,6 км. Единицы времени и скорости приведены к системе СИ — правило, без которого ответ будет неверным в 60 раз.

Пример 2. Средняя скорость. Половину пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую половину — 60 км/ч. Пусть весь путь 2S. Тогда t₁ = S/40, t₂ = S/60, t = S·(1/40 + 1/60) = S/24. Средняя скорость v_ср = 2S : (S/24) = 48 км/ч, а не 50 км/ч. Вывод: среднее арифметическое скоростей даёт правильный ответ только при равных временах, а не при равных путях.

Пример 3. Равноускоренный разгон. Поезд трогается с места (v₀ = 0) и разгоняется с ускорением a = 0,5 м/с² в течение 40 с. Скорость v = 0 + 0,5 · 40 = 20 м/с. Путь s = 0 + 0,5 · 40² / 2 = 400 м. Проверка через среднюю скорость: v_ср = (0 + 20)/2 = 10 м/с, s = 10 · 40 = 400 м — совпало.

Пример 4. Торможение. Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением, модуль которого 4 м/с². Так как вектор ускорения направлен против скорости, a = −4 м/с². Время до остановки: 0 = 20 − 4t, t = 5 с. Тормозной путь s = (0 − 20²)/(2·(−4)) = 50 м. Вывод: знак ускорения задаётся выбранной осью, а не «характером» движения.

Пример 5. Путь и перемещение. Бегун проходит полный круг стадиона длиной 400 м. Путь равен 400 м, перемещение равно нулю: начальная и конечная точки совпали. Средняя скорость по пути ненулевая, а по перемещению — нулевая.

Пример 6. Чтение графика. На графике v(t) скорость линейно растёт от 2 м/с до 8 м/с за 3 с. Ускорение a = (8 − 2)/3 = 2 м/с². Путь — площадь трапеции: s = (2 + 8)/2 · 3 = 15 м.

Таблица

Типичные ошибки

Отождествление пути и перемещения. Ошибка возникает потому, что при прямолинейном движении в одну сторону их модули совпадают. Неправильно: «тело обошло круг радиусом 10 м, перемещение 62,8 м». Правильно: путь 62,8 м, перемещение 0.

Среднее арифметическое вместо средней скорости. Причина — механический перенос правила «среднее двух чисел». Неправильно: (40 + 60)/2 = 50 км/ч. Правильно: v_ср = s_общ/t_общ = 48 км/ч.

Потеря знака ускорения при торможении. Ученик подставляет a = +4 м/с² и получает растущую скорость. Правильно: при выборе оси по направлению движения торможению соответствует a < 0, и формула v = v₀ + at даёт убывание скорости.

Смешение графиков x(t) и v(t). Горизонтальная линия на графике x(t) означает покой, а на графике v(t) — равномерное движение. Неправильно: «прямая на v(t) — тело стоит». Правильно: «прямая, параллельная оси t, на v(t) — скорость постоянна».

Расчёт без перевода единиц. Смешение км/ч и м/с даёт ответ, отличающийся в 3,6 раза. Правильно: 72 км/ч = 72 : 3,6 = 20 м/с.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и укажите тело отсчёта, относительно которого рассматривается движение.
2. Определите вид движения: v = const (равномерное) или a = const (равноускоренное).
3. Выпишите «Дано», переведите все величины в СИ (м, с, м/с, м/с²).
4. Выберите ось координат и направьте её удобно — чаще по направлению начальной скорости.
5. Расставьте знаки: v₀ > 0, ускорение положительно при разгоне и отрицательно при торможении.
6. Запишите формулу, содержащую искомую величину и известные данные.
7. Выразите неизвестное в буквенном виде, затем подставьте числа.
8. Проверьте результат: сходится ли размерность, разумен ли модуль (скорость пешехода не может быть 200 м/с), совпадает ли ответ при расчёте вторым способом — например, через v_ср = (v₀ + v)/2.

Как запомнить

• «Путь — верёвка, перемещение — стрелка»: верёвку выкладывают по траектории, стрелку проводят напрямую.
• «Ускорение — это скорость скорости»: м/с за каждую секунду, отсюда м/с².
• Три формулы равноускоренного движения: v = v₀ + at (без пути), s = v₀t + at²/2 (без конечной скорости), s = (v² − v₀²)/(2a) (без времени). Выбирайте ту, где не хватает именно ненужной величины.
• Правило 3,6: из км/ч в м/с — делить на 3,6; обратно — умножать.
• Площадь и наклон: «площадь под скоростью — путь, наклон скорости — ускорение».