Функции y = xⁿ, корень n-й степени — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Степенная функция y = xⁿ — это функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число, а x пробегает все действительные значения. Область определения такой функции D(y) = (−∞; +∞) при любом натуральном n, поскольку любое действительное число можно возвести в натуральную степень.

Поведение графика полностью задаётся чётностью показателя. При чётном n функция чётная: f(−x) = (−x)ⁿ = xⁿ = f(x), график симметричен относительно оси Oy и напоминает параболу с более «прижатыми» к оси ветвями. При нечётном n функция нечётная: f(−x) = −f(x), график симметричен относительно начала координат и похож на кубическую кривую.

Корень n-й степени из числа a — число b, n-я степень которого равна a, то есть bⁿ = a. Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число b, для которого bⁿ = a; обозначение — ⁿ√a, где n — показатель корня, a — подкоренное выражение.

Обратная связь двух понятий прямая: корень n-й степени решает уравнение xⁿ = a, а количество его решений зависит от чётности n — именно поэтому свойства функции изучаются раньше свойств корня.

Раздел 2 — Ключевые правила

Свойства корня n-й степени формулируются для неотрицательных подкоренных выражений, и это ограничение снимать нельзя.

1. Корень из произведения: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b при a ≥ 0, b ≥ 0. Пример: ³√(8·27) = ³√8 · ³√27 = 2·3 = 6.
2. Корень из частного: ⁿ√(a/b) = ⁿ√a : ⁿ√b при a ≥ 0, b > 0. Пример: ⁴√(81/16) = 3/2.
3. Степень корня: (ⁿ√a)^k = ⁿ√(aᵏ) при a ≥ 0. Пример: (³√5)⁶ = ³√5⁶ = 5² = 25.
4. Корень из корня: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a. Пример: √(³√64) = ⁶√64 = 2.
5. Корень из степени: ⁿ√(xⁿ) = x при нечётном n и любом x; ⁿ√(xⁿ) = |x| при чётном n. Пример: ⁴√((−3)⁴) = 3.
6. Дробный показатель: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) при a ≥ 0. Пример: 27^(2/3) = ³√27² = 9.
7. Корень из отрицательного числа существует только при нечётном n: ⁵√(−243) = −3, а ⁴√(−16) не определён.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Сравнить значения y = x⁴ и y = x⁵ при x = −2. Подстановка даёт (−2)⁴ = 16 и (−2)⁵ = −32. Чётная степень «гасит» минус, нечётная его сохраняет. Вывод: знак значения функции при отрицательном аргументе определяется чётностью показателя.

Пример 2. Решить уравнение x⁴ = 81. Функция y = x⁴ чётная, значит горизонтальная прямая y = 81 пересекает график дважды: x = 3 и x = −3. Ответ x = 3 неполон. Вывод: уравнение xⁿ = a при чётном n и a > 0 имеет ровно два противоположных корня.

Пример 3. Вычислить ³√(−125/8). Показатель нечётный, поэтому корень из отрицательного числа существует: ³√(−125/8) = −³√(125/8) = −5/2. Проверка: (−5/2)³ = −125/8. Вывод: у нечётного корня минус выносится из-под знака корня.

Пример 4. Упростить ⁴√(32) · ⁴√(8). По свойству произведения ⁴√32 · ⁴√8 = ⁴√(32·8) = ⁴√256 = 4, так как 4⁴ = 256. Вывод: перемножение подкоренных выражений с одинаковым показателем часто приводит к точной n-й степени.

Пример 5. Вычислить 16^(3/4) + 81^(1/4). Дробный показатель переводится в корень: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8; 81^(1/4) = 3. Сумма равна 11. Вывод: знаменатель дробного показателя — показатель корня, числитель — показатель степени.

Пример 6. Упростить ⁶√(x⁶) при неизвестном знаке x. Показатель чётный, поэтому ⁶√(x⁶) = |x|, а не x. При x = −4 получаем ⁶√4096 = 4 = |−4|. Вывод: модуль обязателен всегда, когда чётный корень извлекается из чётной степени.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Извлечение чётного корня из отрицательного числа. Запись ⁴√(−16) = −2 неверна, поскольку (−2)⁴ = +16, а не −16. Ошибка возникает из-за переноса правила нечётного корня. Неправильно: ⁴√(−16) = −2. Правильно: ⁴√(−16) не существует.

Потеря модуля. Формула ⁿ√(xⁿ) = x применяется автоматически, без анализа чётности n. Неправильно: √((−7)²) = −7. Правильно: √((−7)²) = |−7| = 7.

Потеря второго корня уравнения. Ученик решает x⁶ = 64 и пишет только x = 2, забывая о симметрии графика чётной функции. Правильно: x = 2 или x = −2.

Сложение корней как множителей. Свойство произведения ошибочно переносится на сумму. Неправильно: ³√(8 + 27) = 2 + 3 = 5. Правильно: ³√35 — точное значение не извлекается, выражение остаётся в виде корня.

Путаница в дробном показателе. Числитель и знаменатель меняются местами: 8^(2/3) считают как ²√(8³) = 8√8. Правильно: 8^(2/3) = ³√(8²) = ³√64 = 4 — знаменатель всегда уходит в показатель корня.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите показатель корня n и проверьте его чётность.
2. При чётном n убедитесь, что подкоренное выражение неотрицательно; иначе запишите «выражение не имеет смысла».
3. Разложите подкоренное число на множители, выделив точные n-е степени (например, 54 = 27·2).
4. Примените свойство корня из произведения или частного и вынесите точные степени за знак корня.
5. Дробные показатели переведите в корни по формуле a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) либо, наоборот, корни — в степени.
6. Приведите подобные слагаемые с одинаковыми корнями, сократите дроби.
7. При чётном n и буквенном подкоренном выражении поставьте модуль.
8. Выполните проверку: возведите полученный ответ в n-ю степень и сравните с исходным подкоренным выражением.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Чётный показатель — плюс на выходе»: xⁿ ≥ 0 и ⁿ√a ≥ 0 при чётном n, отсюда и модуль, и отсутствие корня из отрицательного числа.
• «Нечётный показатель прозрачен для минуса»: (−x)ⁿ = −xⁿ и ⁿ√(−a) = −ⁿ√a.
• Знаменатель дробного показателя — «этаж корня»: a^(m/n) → корень степени n, степень m.
• Точки-маяки для любого графика y = xⁿ: (0; 0) и (1; 1); третья точка — (−1; 1) для чётного n и (−1; −1) для нечётного.
• Кубы и четвёртые степени наизусть: 8, 27, 64, 125, 216 и 16, 81, 256, 625 — они закрывают большинство вычислительных заданий.