Системы уравнений второй степени — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Система уравнений второй степени — это совокупность двух уравнений с двумя неизвестными, в которой хотя бы одно уравнение имеет вторую степень, а решить её означает найти все пары чисел, обращающие каждое уравнение в верное равенство.

Степень уравнения определяется наибольшей суммой показателей переменных в одночлене: слагаемые $x^2$, $xy$, $y^2$ дают вторую степень, слагаемые $x$, $y$ — первую. Поэтому система $\begin{cases}x-y=2\\ x^2+y^2=10\end{cases}$ уже относится к системам второй степени, хотя первое уравнение линейное.

Решение системы — упорядоченная пара $(x;y)$, а не отдельное число. Пара $(3;1)$ и пара $(1;3)$ — разные ответы, и подставлять их нужно строго на свои места.

Геометрический смысл связывает алгебру с графиками: каждое уравнение задаёт на координатной плоскости линию (прямую, окружность, параболу, гиперболу), а решения системы — координаты точек пересечения этих линий. Тема продолжает линейные системы 7 класса и опирается на квадратные уравнения и теорему Виета.

Раздел 2 — Ключевые правила

Системы второй степени решаются двумя основными методами — подстановки и сложения, — а выбор метода диктует структура уравнений.

1. Метод подстановки применяется, когда из одного уравнения переменная выражается через другую. Из $x-y=2$ получаем $x=y+2$ и подставляем во второе уравнение.
2. Метод сложения применяется, когда коэффициенты при одинаковых одночленах ($x^2$, $y^2$, $xy$) равны или противоположны. В системе $x^2+y^2=25$, $x^2-y^2=7$ сложение даёт $2x^2=32$.
3. Симметричная система (уравнения не меняются при замене $x$ на $y$) решается заменой $u=x+y$, $v=xy$ с последующим применением обратной теоремы Виета.
4. Число решений системы равно числу общих точек графиков: прямая и кривая второй степени дают не более 2 точек, две кривые второй степени — не более 4.
5. Знак «$\pm$» при извлечении квадратного корня сохраняется обязательно: из $x^2=16$ следует $x=4$ и $x=-4$.
6. Деление обеих частей на выражение с переменной допускается только при доказанном условии, что оно не равно нулю.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Линейное уравнение и окружность. $\begin{cases}x-y=2\\ x^2+y^2=10\end{cases}$ Выражаем $x=y+2$ и подставляем: $(y+2)^2+y^2=10$, то есть $2y^2+4y-6=0$, откуда $y^2+2y-3=0$, $y_1=1$, $y_2=-3$. Возвращаемся к $x=y+2$: $x_1=3$, $x_2=-1$. Происходит понижение числа неизвестных: две переменные сводятся к одному квадратному уравнению. Ответ: $(3;1)$, $(-1;-3)$ — прямая пересекает окружность радиуса $\sqrt{10}$ в двух точках.

Пример 2. Два уравнения второй степени, метод сложения. $\begin{cases}x^2+y^2=25\\ x^2-y^2=7\end{cases}$ Складываем почленно: $2x^2=32$, $x^2=16$, $x=\pm4$. Вычитаем: $2y^2=18$, $y^2=9$, $y=\pm3$. Здесь знаки комбинируются свободно, потому что обе переменные входят только в квадратах. Ответ: четыре пары $(4;3)$, $(4;-3)$, $(-4;3)$, $(-4;-3)$ — окружность и гипербола дают максимальные 4 точки пересечения.

Пример 3. Симметричная система. $\begin{cases}x+y=5\\ xy=6\end{cases}$ Числа $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2-5t+6=0$ по обратной теореме Виета, значит $t_1=2$, $t_2=3$. Замена суммы и произведения избавляет от подстановки громоздких выражений. Ответ: $(2;3)$, $(3;2)$ — прямая пересекает гиперболу $y=6/x$ в двух точках.

Пример 4. Система без решений. $\begin{cases}x+y=5\\ x^2+y^2=4\end{cases}$ Подставляем $y=5-x$: $x^2+(5-x)^2=4$, то есть $2x^2-10x+21=0$. Дискриминант $D=100-168=-68<0$. Отрицательный дискриминант означает отсутствие общих точек: расстояние от центра окружности до прямой равно $5/\sqrt{2}\approx3{,}54$, а радиус равен 2. Ответ: решений нет.

Пример 5. Единственное решение — касание. $\begin{cases}y=x+4\\ x^2+y^2=8\end{cases}$ Подстановка даёт $x^2+(x+4)^2=8$, $2x^2+8x+8=0$, $x^2+4x+4=0$, $(x+2)^2=0$, $x=-2$, $y=2$. Нулевой дискриминант соответствует касанию прямой и окружности. Ответ: одна пара $(-2;2)$.

Раздел 4 — Таблица методов и геометрических конфигураций

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря отрицательного корня. Из $x^2=16$ записывают только $x=4$, потому что автоматически берут арифметический корень. Правильно: $x=\pm4$, иначе теряется половина точек пересечения.

Неверное составление пар. Найдя $x=\pm4$ и $y=\pm3$ в системе с подстановкой $y=x-1$, ученик выписывает все четыре комбинации. Связь между переменными задана уравнением, поэтому каждому $x$ соответствует своё $y$: подставлять надо в то уравнение, из которого выражали переменную.

Деление на выражение с переменной. В системе с уравнением $xy=x$ сокращают на $x$ и теряют серию решений при $x=0$. Правильно: перенести всё влево, $x(y-1)=0$, и рассмотреть оба случая.

Ответ в виде набора чисел. Запись «$x=3$, $y=1$, $x=-1$, $y=-3$» не показывает соответствия. Правильно: $(3;1)$ и $(-1;-3)$.

Отсутствие проверки после возведения в квадрат. Иррациональные преобразования порождают посторонние корни, которые исчезают только при подстановке в исходную систему.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите степень каждого уравнения и запишите систему в стандартном виде.
2. Проверьте симметричность и совпадение коэффициентов при $x^2$, $y^2$, $xy$.
3. Выберите метод: подстановка — при наличии линейного уравнения; сложение — при равных или противоположных коэффициентах; замена $u=x+y,\ v=xy$ — при симметрии.
4. Выразите одну переменную или сложите (вычтите) уравнения почленно.
5. Решите полученное уравнение с одной переменной, сохраняя знак «$\pm$» при извлечении корня.
6. Найдите вторую переменную, подставив каждый корень в то уравнение, откуда выражали.
7. Запишите ответ упорядоченными парами и укажите их количество.
8. Проверьте каждую пару подстановкой в оба исходных уравнения и сопоставьте число решений с расположением графиков.

Раздел 7 — Как запомнить

Ключ выбора метода умещается в три слова-ориентира: «линейное — выражай», «одинаковые квадраты — складывай», «симметрия — Виет».

Формула геометрической проверки: число решений = число точек пересечения. Прямая и кривая второй степени дают 0, 1 или 2 точки; две кривые второй степени — от 0 до 4.

Связка дискриминанта и картинки: $D>0$ — секущая, $D=0$ — касательная, $D<0$ — линии не встречаются.

Контрольный вопрос перед записью ответа: «сколько пар и в каком порядке?» — он отсекает потерю знака и путаницу координат.