Квадратные неравенства (метод интервалов) — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 или ax² + bx + c ≤ 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Левая часть называется квадратным трёхчленом, а решить неравенство — значит найти все значения переменной x, при которых трёхчлен принимает нужный знак.

График квадратного трёхчлена y = ax² + bx + c — парабола. Неравенство ax² + bx + c > 0 означает «найти все x, при которых парабола лежит выше оси Ox», а ax² + bx + c < 0 — «ниже оси Ox». Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox; они делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.

Метод интервалов опирается на это свойство: между соседними корнями трёхчлен знак не меняет, поэтому достаточно определить знак на каждом промежутке один раз. Тема завершает линию «квадратичная функция — квадратное уравнение — квадратное неравенство» и служит базой для дробно-рациональных неравенств и области определения функций в 10–11 классах.

Раздел 2 — Ключевые правила

Знак квадратного трёхчлена вне отрезка между корнями совпадает со знаком старшего коэффициента a, а между корнями — противоположен ему. Из этого правила выводятся все остальные.

1. Дискриминант D = b² − 4ac определяет структуру решения. Для x² − 5x + 6 получаем D = 25 − 24 = 1 > 0 — два корня, три промежутка.
2. При D > 0 корни x₁ < x₂ разбивают прямую на три интервала: (−∞; x₁), (x₁; x₂), (x₂; +∞), знаки чередуются «+ − +» при a > 0.
3. При D = 0 трёхчлен равен a(x − x₀)² и сохраняет знак a при всех x, кроме x = x₀, где обращается в нуль.
4. При D < 0 парабола не пересекает ось Ox: трёхчлен сохраняет знак a при всех x. Так, x² + x + 5 > 0 верно для любого x, а x² + x + 5 < 0 решений не имеет.
5. При a < 0 обе части умножают на −1 со сменой знака неравенства: −x² + 4x − 3 ≥ 0 ⟺ x² − 4x + 3 ≤ 0.
6. Строгий знак (>, <) даёт выколотые точки и круглые скобки; нестрогий (≥, ≤) — закрашенные точки и квадратные скобки. Символы ∞ и −∞ всегда стоят в круглых скобках.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. x² − 5x + 6 > 0. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3 (по теореме Виета 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Коэффициент a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх, значит выше оси Ox она лежит вне отрезка [2; 3]. Знак строгий — корни исключаем. Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞). Вывод: знак «>» при a > 0 всегда даёт объединение двух крайних промежутков.

Пример 2. x² − x − 12 ≤ 0. Корни: x₁ = −3, x₂ = 4. Ветви вверх, ниже оси Ox парабола находится между корнями. Знак нестрогий, поэтому точки, где трёхчлен равен нулю, входят в ответ. Ответ: [−3; 4]. Вывод: знак «≤» при a > 0 даёт один отрезок с включёнными концами.

Пример 3. −x² + 4x − 3 ≥ 0. Старший коэффициент отрицателен. Умножаем на −1 и меняем знак: x² − 4x + 3 ≤ 0. Корни 1 и 3, ветви вверх, нужен промежуток между корнями. Ответ: [1; 3]. Вывод: приведение к a > 0 избавляет от путаницы с направлением ветвей.

Пример 4. x² − 6x + 9 > 0. D = 36 − 36 = 0, единственный корень x = 3, трёхчлен равен (x − 3)². Квадрат положителен всюду, кроме x = 3, где он равен нулю. Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; +∞). А неравенство (x − 3)² < 0 решений не имеет вовсе. Вывод: при D = 0 ответ либо «вся прямая без точки», либо одна точка, либо пустое множество.

Пример 5. 2x² + x + 1 < 0. D = 1 − 8 = −7 < 0, корней нет; a = 2 > 0, парабола целиком выше оси Ox. Отрицательных значений трёхчлен не принимает. Ответ: решений нет. Вывод: при D < 0 ответ определяется только знаком a — либо все действительные числа, либо пустое множество.

Раздел 4 — Таблица знаков и ответов (случай a > 0)

При a < 0 неравенство сначала умножают на −1 со сменой знака, после чего пользуются той же таблицей.

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря смены знака при умножении на отрицательное число. Ошибка возникает по аналогии с уравнениями, где знак равенства не меняется. Неправильно: −x² + 4x − 3 ≥ 0 ⟹ x² − 4x + 3 ≥ 0. Правильно: x² − 4x + 3 ≤ 0.

Выбор не того промежутка. Ученик находит корни и записывает первый попавшийся интервал, не проверяя знак. Лекарство — контрольная точка: для x² − 5x + 6 > 0 подставляем x = 0 и получаем 6 > 0, значит промежуток (−∞; 2) входит в ответ.

Соединение промежутков словом «и» или знаком системы. Запись «x < 2 и x > 3» противоречива, поскольку одно число не может удовлетворять обоим условиям. Правильно: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞) — знак объединения.

Смешение скобок при нестрогом знаке. Неправильно: x² − x − 12 ≤ 0 ⟹ (−3; 4). Правильно: [−3; 4], так как при x = −3 и x = 4 трёхчлен равен нулю, а нуль условию «≤ 0» удовлетворяет.

Вывод «решений нет» при любом D < 0. Отрицательный дискриминант означает лишь отсутствие корней, а не отсутствие решений: x² + x + 5 > 0 верно для всех x.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Приведите неравенство к виду ax² + bx + c ⋁ 0, перенеся все слагаемые в левую часть.
2. Если a < 0, умножьте обе части на −1 и смените знак неравенства на противоположный.
3. Вычислите дискриминант D = b² − 4ac.
4. Найдите корни трёхчлена по формуле или по теореме Виета; при D < 0 переходите сразу к шагу 7.
5. Отметьте корни на числовой прямой: выколотыми точками при строгом знаке, закрашенными — при нестрогом.
6. Расставьте знаки: справа от большего корня «+», далее чередуя «−», «+» (при a > 0).
7. Выберите промежутки с нужным знаком и запишите ответ числовым промежутком, соединяя части символом ∪.
8. Проверьте: подставьте одно число из ответа и одно число вне его в исходное неравенство — первое должно давать верное числовое неравенство, второе неверное.

Раздел 7 — Как запомнить

Опорная фраза: «Ветви вверх — плюс по краям, минус в середине». Она задаёт схему знаков «+ − +» для a > 0 и мгновенно указывает нужный промежуток.

Связка «знак — форма ответа»: «>» и «<» дают круглые скобки, «≥» и «≤» — квадратные; бесконечность скобкой не обнимают, у неё всегда круглая.

Проверка одной точкой: подстановка x = 0 (если нуль не корень) занимает пять секунд и страхует от выбора неверного интервала.