Умножение и деление рациональных дробей. Совместные действия — тренажёр для 8 класса

Определение

Умножение и деление рациональных дробей — это два арифметических действия над дробями вида P/Q, где P и Q — многочлены, а Q ≠ 0; результат обоих действий снова является рациональной дробью. Рациональная дробь — выражение, представимое как частное двух многочленов.

Оба действия выполняются по тем же формулам, что и действия с обыкновенными числовыми дробями: множители перемножаются «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель», а деление заменяется умножением на обратную дробь. Отличие одно: вместо чисел стоят многочлены, поэтому сокращение возможно только после разложения на множители.

Место темы в курсе: после сложения и вычитания дробей и перед общим преобразованием рациональных выражений. Умножение и деление не требуют общего знаменателя — этим они проще сложения, но требуют уверенного владения формулами сокращённого умножения и вынесением общего множителя.

Ключевые правила

Умножение и деление рациональных дробей подчиняются четырём правилам, каждое из которых работает при условии, что знаменатели не обращаются в нуль.

1. Правило умножения: a/b · c/d = (a·c)/(b·d). Пример: (2x)/(y) · (3y²)/(x³) = (6xy²)/(x³y) = 6y/x².
2. Правило деления: a/b : c/d = a/b · d/c, причём c ≠ 0. Пример: (m)/(n) : (m²)/(4) = m/n · 4/m² = 4/(mn).
3. Правило возведения в степень: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Пример: (2x/y)³ = 8x³/y³.
4. Правило сокращения: сокращать разрешено только общий *множитель* числителя и знаменателя, а не слагаемое. Пример: (x+2)/(x²−4) = (x+2)/((x−2)(x+2)) = 1/(x−2).

Многочлен или число всегда представляются дробью со знаменателем 1: (x−5) = (x−5)/1. Знак минус выносится по правилу b − a = −(a − b), что даёт дополнительные сокращения.

Разбор примеров

Пример 1. Одночлены. (3a²b)/(4c) · (8c³)/(9ab²). Перемножаем: (3a²b·8c³)/(4c·9ab²) = (24a²bc³)/(36ab²c). Сокращаем коэффициенты 24/36 = 2/3, буквы по свойству степеней: a²/a = a, b/b² = 1/b, c³/c = c². Ответ: 2ac²/(3b). Вывод: с одночленами сокращение идёт покоэффициентно и по каждой букве отдельно.

Пример 2. Разложение перед сокращением. (x²−9)/(x²+4x+4) · (x+2)/(x−3). Раскладываем: x²−9 = (x−3)(x+3), x²+4x+4 = (x+2)². Получаем ((x−3)(x+3)(x+2))/((x+2)²(x−3)). Сокращаем (x−3) и один (x+2): ответ (x+3)/(x+2), при x ≠ 3 и x ≠ −2. Вывод: перемножать «в лоб» нельзя — сначала множители, потом сокращение.

Пример 3. Деление. (a²−b²)/(6ab) : (a+b)/(3b). Заменяем делением на умножение: (a−b)(a+b)/(6ab) · 3b/(a+b). Сокращаем (a+b) и 3b/6ab = 1/(2a). Ответ: (a−b)/(2a). Вывод: переворачивается только делитель, делимое остаётся без изменений.

Пример 4. Минус как множитель. (x²−4)/(x²+2x) · x/(2−x). Раскладываем: (x−2)(x+2)/(x(x+2)) · x/(−(x−2)). Сокращаются (x−2), (x+2) и x, остаётся 1/(−1) = −1. Вывод: замена (2−x) на −(x−2) открывает сокращение, которое иначе не видно.

Пример 5. Цепочка всех действий. (1/(x−1) − 1/(x+1)) : (2x/(x²−1)). Сначала скобка: общий знаменатель (x−1)(x+1) = x²−1, числитель (x+1)−(x−1) = 2, получаем 2/(x²−1). Затем деление: 2/(x²−1) · (x²−1)/(2x) = 1/x. Вывод: порядок действий обычный — скобки, затем умножение и деление слева направо.

Таблица действий и приёмов

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых. Ошибка возникает из-за внешнего сходства суммы и произведения. Неправильно: (x+6)/6 = x. Правильно: (x+6)/6 не сокращается, так как 6 в числителе — слагаемое, а не множитель.

Переворот не той дроби. При делении школьник переворачивает делимое. Неправильно: (2/x):(3/y) = (x/2)·(3/y). Правильно: (2/x):(3/y) = (2/x)·(y/3) = 2y/(3x).

Перемножение до разложения. Раскрыв скобки, ученик получает многочлен четвёртой степени и теряет возможность сократить. Неправильно: сначала (x²−9)(x+2), потом поиск множителей. Правильно: разложить каждый многочлен, сократить, и только потом перемножать оставшееся.

Потеря минуса. Скобки (a−b) и (b−a) считают одинаковыми. Неправильно: (3−x)/(x−3) = 1. Правильно: (3−x)/(x−3) = −(x−3)/(x−3) = −1.

Игнорирование недопустимых значений. После сокращения множителя (x−3) выражение выглядит определённым при x = 3, хотя исходное — нет. Правильно: ограничения выписываются по исходным знаменателям и делителю.

Пошаговый алгоритм

1. Определить действия и расставить порядок: скобки, степени, затем умножение и деление слева направо.
2. Заменить каждое деление умножением на обратную дробь.
3. Записать целые выражения и многочлены в виде дробей со знаменателем 1.
4. Разложить на множители каждый числитель и каждый знаменатель: вынести общий множитель, применить формулы сокращённого умножения, разложить квадратный трёхчлен.
5. Привести противоположные скобки к одному виду по правилу b − a = −(a − b).
6. Записать одну дробь: произведение всех числителей делится на произведение всех знаменателей (скобки не раскрывать).
7. Сократить одинаковые множители числителя и знаменателя.
8. Выписать значения переменной, при которых исходные знаменатели и делители обращаются в нуль.
9. Проверить результат: подставить допустимое число (например, x = 2) в исходное выражение и в ответ — значения обязаны совпасть.

Как запомнить

• «Делить — значит умножать на перевёрнутое»: переворачивается только тот, кто стоит после знака «:».
• «Сначала множители — потом умножение»: разложение экономит вычисления, раскрытие скобок их удваивает.
• «Сокращаю только то, что перемножено»: между сокращаемыми частями должен стоять знак «·», а не «+» или «−».
• «Минус переносится через скобку»: b − a = −(a − b) — приём, дающий сокращение и ответ вида −1.
• Контроль числом: подстановка x = 2 в исходное выражение и в ответ — самая быстрая проверка всей цепочки.