Функция y = k/x и её график — тренажёр для 8 класса

Определение

Функция обратной пропорциональности — это функция вида y = k/x, где k — постоянное число, не равное нулю, а x — независимая переменная, принимающая любые значения, кроме нуля. Графиком такой функции служит гипербола — линия из двух отдельных ветвей.

Множитель k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Он определяет и «раскрытие» ветвей, и координатные четверти, в которых они лежат: при k > 0 ветви занимают I и III четверти, при k < 0 — II и IV.

Название «обратная пропорциональность» отражает суть зависимости: увеличение x в несколько раз уменьшает y во столько же раз, а произведение координат любой точки графика постоянно и равно k. Отсюда рабочее равенство x · y = k.

В курсе 8 класса гипербола идёт сразу после линейной и квадратичной функций и вводит два новых явления: разрыв области определения и асимптоты — прямые, к которым график приближается неограниченно, но никогда их не достигает.

Ключевые правила

Функция y = k/x подчиняется пяти свойствам, которые проверяются прямо по формуле.

1. Область определения: x ≠ 0, то есть D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Деление на нуль невозможно, поэтому точки с абсциссой 0 у графика нет.
2. Область значений: y ≠ 0, E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Равенство k/x = 0 невыполнимо ни при каком x, так как k ≠ 0. Оси координат служат асимптотами: x = 0 — вертикальная, y = 0 — горизонтальная.
3. Нечётность: f(−x) = k/(−x) = −k/x = −f(x). График симметричен относительно начала координат. Например, точки (2; 3) и (−2; −3) лежат на графике y = 6/x одновременно.
4. Монотонность по ветвям: при k > 0 функция убывает на промежутке (−∞; 0) и убывает на (0; +∞); при k < 0 — возрастает на каждом из этих промежутков. Говорить «убывает на всей области определения» нельзя: у −1 и 1 значения функции y = 1/x равны −1 и 1, то есть при переходе через разрыв значение растёт.
5. Нахождение k по точке: если точка (x₀; y₀) принадлежит графику, то k = x₀ · y₀. Для точки (5; −2) получаем k = −10, то есть y = −10/x.

Разбор примеров

Пример 1. Построение графика y = 6/x. Составляем таблицу, беря делители числа 6: x = 1; 2; 3; 6 → y = 6; 3; 2; 1. По нечётности зеркально получаем x = −1; −2; −3; −6 → y = −6; −3; −2; −1. Отмечаем восемь точек и соединяем их плавными линиями отдельно в I и в III четвертях. Вывод: удобные значения x — делители числа k, они дают целые координаты.

Пример 2. Сравнение y = 6/x и y = −6/x. При x = 2 первая функция даёт 3, вторая −3; при x = −2 — соответственно −3 и 3. Каждая точка второго графика получается из точки первого отражением относительно оси Ox. Вывод: смена знака k переносит ветви из I и III четвертей во II и IV, форма линии сохраняется.

Пример 3. Определение k по точке (−3; 4). Подставляем координаты в равенство k = x₀ · y₀: k = (−3) · 4 = −12. Формула функции: y = −12/x. Проверка: при x = −3 получаем −12/(−3) = 4 — совпадает. Вывод: одна точка полностью задаёт гиперболу.

Пример 4. Принадлежность точек графику y = 8/x. Для A(4; 2) произведение 4 · 2 = 8 = k — точка лежит на графике. Для B(−2; 4) произведение (−2) · 4 = −8 ≠ 8 — точка графику не принадлежит, она лежит на гиперболе y = −8/x. Вывод: критерий принадлежности — равенство x · y = k.

Пример 5. Сравнение значений без вычислений. Даны x₁ = 3 и x₂ = 7 для y = 5/x. Обе точки лежат на ветви в I четверти, где функция убывает, значит y(3) > y(7). Вывод: сравнивать значения по монотонности допустимо только внутри одной ветви.

Таблица свойств

Типичные ошибки

Включение нуля в область определения. Ученик берёт x = 0 и пишет y = 0. Причина — автоматический перенос привычки с линейной функции. Неправильно: «график проходит через (0; 0)». Правильно: при x = 0 выражение k/x не определено, график к началу координат лишь приближается.

Соединение двух ветвей одной линией. Возникает из-за желания провести график «одним росчерком». Неправильно: кривая пересекает ось Oy. Правильно: две ветви рисуются раздельно, каждая не касается осей.

Вывод «функция убывает на всей области определения». Причина — обобщение поведения одной ветви. Неправильно: «при k > 0 функция убывающая». Правильно: убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) в отдельности.

Потеря знака при вычислении k. Для точки (−2; −6) записывают k = −12. Причина — невнимание к произведению двух отрицательных чисел. Правильно: k = (−2) · (−6) = 12, функция y = 12/x.

Выбор неудобных значений x. Взяв x = 5 для y = 6/x, получают y = 1,2 и ошибаются при откладывании точки. Правильно: подбирать x среди делителей k, добавляя дробные значения 0,5 и 0,25 только у самых крутых участков.

Пошаговый алгоритм

1. Убедиться, что формула приводится к виду y = k/x, и выписать значение k вместе со знаком.
2. Записать область определения: x ≠ 0.
3. По знаку k определить четверти: k > 0 — I и III, k < 0 — II и IV.
4. Составить таблицу из 4–5 положительных значений x, выбирая делители числа |k|.
5. Достроить симметричную часть таблицы для отрицательных x по правилу f(−x) = −f(x).
6. Отметить точки на координатной плоскости и провести две плавные ветви, приближающиеся к осям.
7. Проверить результат: взять контрольную точку графика и умножить её координаты — произведение обязано равняться k.

Как запомнить

• k = x · y — «коэффициент есть произведение координат». Формула сразу решает три задачи: найти k, проверить точку, восстановить формулу.
• «Плюс — первая и третья, минус — вторая и четвёртая» — порядок четвертей по знаку k.
• «Гипербола боится нуля» — ни x, ни y не обращаются в нуль, осей график не касается.
• «Чем больше |k|, тем дальше ветви от начала координат»: у y = 1/x точка (1; 1), у y = 9/x — точка (1; 9).
• Нечётность проверяется одной подстановкой: f(−x) = −f(x), значит поворот графика на 180° вокруг начала координат совмещает его с самим собой.