Квадратные корни. Арифметический квадратный корень — тренажёр для 8 класса

Определение

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; в курсе алгебры 8 класса запись √a имеет смысл только при a ≥ 0. Символ √ называется знаком радикала, число под ним — подкоренным выражением.

Определение содержит два условия одновременно, и оба обязательны: во-первых, найденное число не отрицательно, во-вторых, его квадрат равен подкоренному выражению. Проверка √25 = 5 проходит по обоим пунктам: 5 ≥ 0 и 5² = 25. Число −5 второму условию удовлетворяет, первому — нет, поэтому корнем оно не является.

Тема связывает арифметику и алгебру: возведение в квадрат и извлечение корня — взаимно обратные операции. Из этой пары действий вырастают решение уравнения x² = a, преобразование иррациональных выражений в 8 классе и работа с теоремой Пифагора в геометрии.

Множество значений √a — все неотрицательные числа. Поэтому равенство √16 = ±4 ложно: у выражения √16 ровно одно значение, равное 4, а два корня ±4 имеет уравнение x² = 16.

Ключевые правила

Квадратный корень подчиняется четырём правилам, которые вытекают прямо из определения.

1. Область определения. Выражение √a существует только при a ≥ 0. Записи √(−9) в множестве действительных чисел значения не имеют, так как квадрат любого числа неотрицателен.
2. Тождество (√a)² = a при a ≥ 0. Возведение корня в квадрат возвращает подкоренное число: (√13)² = 13.
3. Тождество √(x²) = |x| при любом x. Результат всегда неотрицателен, поэтому знак модуля обязателен: √((−7)²) = |−7| = 7, а √(7²) = 7.
4. Монотонность. Большему подкоренному числу соответствует больший корень: если 0 ≤ a < b, то √a < √b. Из 25 < 30 < 36 следует 5 < √30 < 6.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислить √144. Подбираем неотрицательное число, квадрат которого равен 144: 12² = 144. Оба условия определения выполнены, значит √144 = 12. Вывод: корень из точного квадрата извлекается таблицей квадратов натуральных чисел от 1 до 20.

Пример 2. Вычислить √0,49 и √(9/64). Десятичную дробь представляем как 0,7² = 0,49, отсюда √0,49 = 0,7. Для обыкновенной дроби извлекаем корень отдельно из числителя и знаменателя: 3² = 9, 8² = 64, поэтому √(9/64) = 3/8. Вывод: приём с точными квадратами работает и для дробей.

Пример 3. Оценить √54 между соседними натуральными числами. Находим ближайшие точные квадраты: 49 < 54 < 64, то есть 7² < 54 < 8². По свойству монотонности 7 < √54 < 8. Уточняем: 7,3² = 53,29, а 7,4² = 54,76, значит 7,3 < √54 < 7,4. Вывод: оценка строится сравнением с квадратами, а не «на глаз».

Пример 4. Упростить √((x − 5)²) при x < 5. По тождеству √((x − 5)²) = |x − 5|. Условие x < 5 даёт x − 5 < 0, поэтому модуль раскрывается со сменой знака: |x − 5| = 5 − x. Вывод: знак подкоренной скобки определяет способ раскрытия модуля.

Пример 5. Сторона квадрата. Площадь квадратного участка равна 196 м². Из формулы S = a² следует a = √196 = 14 (м). Отрицательный корень −14 отбрасываем: длина стороны положительна. Вывод: в геометрических задачах определение корня согласуется со смыслом величины.

Таблица

Типичные ошибки

Ответ «±» при вычислении корня. Ошибка возникает от смешения выражения √a и уравнения x² = a. Неправильно: √36 = ±6. Правильно: √36 = 6, а уравнение x² = 36 имеет корни 6 и −6.

Потеря модуля в тождестве √(x²). Ученик пишет √(x²) = x, забывая о случае x < 0. Неправильно: √((−3)²) = −3. Правильно: √((−3)²) = |−3| = 3.

Извлечение корня из отрицательного числа. Причина — перенос правил из умножения, где минус на минус даёт плюс. Неправильно: √(−25) = −5. Правильно: выражение √(−25) не определено, поскольку (−5)² = 25, а не −25.

Округление вместо оценки. Записывают √20 ≈ 4, теряя точность и границы. Правильно: 16 < 20 < 25, значит 4 < √20 < 5, и уточнение 4,4² = 19,36 < 20 даёт 4,4 < √20 < 4,5.

Отрицательный ответ в геометрической задаче. Из уравнения a² = 100 берут a = −10. Длина стороны положительна, поэтому единственный подходящий корень a = 10.

Пошаговый алгоритм

1. Проверьте знак подкоренного выражения: при отрицательном значении запишите «корень не существует».
2. Определите, является ли подкоренное число точным квадратом — сверьтесь с таблицей квадратов от 1 до 20 или разложите число на множители.
3. Для точного квадрата запишите неотрицательное число, дающее его при возведении в квадрат: √169 = 13.
4. Для дроби извлеките корень из числителя и знаменателя отдельно; для десятичной дроби подберите квадрат с тем же числом знаков.
5. Если точного квадрата нет, найдите два соседних квадрата n² < a < (n+1)² и запишите оценку n < √a < n + 1.
6. При подкоренном выражении вида x² поставьте модуль и раскройте его по знаку выражения.
7. В задачах на фигуры отбросьте отрицательное значение и допишите единицы измерения.
8. Выполните проверку: возведите ответ в квадрат и сравните с подкоренным числом.

Как запомнить

• «Корень не бывает злым» — значение арифметического корня никогда не отрицательно.
• «Квадрат снимает радикал, радикал снимает квадрат» — (√a)² = a при a ≥ 0, но √(x²) = |x| при любом x: модуль охраняет неотрицательность.
• Опора на таблицу квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 — она превращает вычисление в узнавание.
• Правило «зажать между квадратами»: для √a ищите ближайшие точные квадраты слева и справа — так получается граница без калькулятора.
• Различайте запись: один радикал — одно значение; уравнение x² = a при a > 0 — два значения ±√a.