Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители — тренажёр для 8 класса

Определение

Теорема Виета — это утверждение о связи корней квадратного уравнения с его коэффициентами, позволяющее находить и проверять корни без вычисления дискриминанта. Для уравнения *ax² + bx + c = 0* (где *a ≠ 0*, *D ≥ 0*) сумма корней равна −b/a, произведение корней равно c/a.

Квадратный трёхчлен — многочлен вида *ax² + bx + c* с одной переменной и старшим коэффициентом *a ≠ 0*. Корни трёхчлена совпадают с корнями соответствующего квадратного уравнения, поэтому теорема Виета работает и как инструмент разложения трёхчлена на линейные множители.

Место темы в курсе алгебры 8 класса определяется её положением после формулы корней через дискриминант: формула даёт корни всегда, теорема Виета даёт корни быстро — в целых числах, подбором, и одновременно служит средством самопроверки.

Ключевые правила

Теорема Виета формулируется в двух видах — для общего и для приведённого уравнения; из неё следует правило разложения трёхчлена на множители.

1. Общий вид. Если *x₁* и *x₂* — корни уравнения *ax² + bx + c = 0*, то *x₁ + x₂ = −b/a* и *x₁ · x₂ = c/a*. Пример: в уравнении *2x² − 5x + 3 = 0* сумма корней равна 5/2, произведение — 3/2.

1. Приведённое уравнение. Уравнение вида *x² + px + q = 0* (старший коэффициент равен 1) называется приведённым; для него *x₁ + x₂ = −p*, *x₁ · x₂ = q*. Пример: для *x² − 9x + 20 = 0* сумма равна 9, произведение — 20, корни 4 и 5.

1. Разложение на множители. Если *x₁* и *x₂* — корни трёхчлена, то *ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)*. Пример: *x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5)*.

1. Обратная теорема (составление уравнения). Если числа *m* и *n* удовлетворяют условиям *m + n = −p*, *m · n = q*, то они являются корнями уравнения *x² + px + q = 0*. По корням 3 и −7 составляется уравнение *x² + 4x − 21 = 0*.

1. Условие применимости. Теорема Виета говорит о корнях действительных, поэтому подбор имеет смысл при *D = b² − 4ac ≥ 0*. При *D < 0* корней нет и подбор бесконечен.

Разбор примеров

Пример 1. Подбор корней: x² − 11x + 24 = 0. Сумма корней равна 11, произведение равно 24. Оба корня положительны (произведение положительно, сумма положительна). Пары делителей 24: 1·24, 2·12, 3·8, 4·6; сумму 11 даёт пара 3 и 8. Вывод: x₁ = 3, x₂ = 8; поиск ведётся среди делителей свободного члена.

Пример 2. Разные знаки: x² + 4x − 45 = 0. Произведение корней отрицательно (−45), значит корни имеют разные знаки; сумма равна −4, значит больший по модулю корень отрицателен. Пары: 5 и −9 дают произведение −45 и сумму −4. Вывод: x₁ = 5, x₂ = −9; знак произведения определяет совпадение знаков корней.

Пример 3. Неприведённое уравнение: 2x² − 7x + 3 = 0. Здесь *x₁ + x₂ = 7/2*, *x₁ · x₂ = 3/2*. Подходят числа 3 и 1/2: их сумма 3,5, произведение 1,5. Разложение: *2x² − 7x + 3 = 2(x − 3)(x − ½) = (x − 3)(2x − 1)*. Вывод: множитель *a* нельзя терять — он вносится в одну из скобок.

Пример 4. Разложение трёхчлена: 3x² + 5x − 2. Приравниваем к нулю: *x₁ + x₂ = −5/3*, *x₁ · x₂ = −2/3*. Подходят *x₁ = 1/3*, *x₂ = −2*. Тогда *3x² + 5x − 2 = 3(x − ⅓)(x + 2) = (3x − 1)(x + 2)*. Проверка раскрытием скобок даёт исходный трёхчлен. Вывод: разложение всегда проверяется обратным умножением.

Пример 5. Составление уравнения по корням −6 и 2. Сумма равна −4, произведение равно −12. Отсюда *p = −(−4) = 4*, *q = −12*, уравнение: x² + 4x − 12 = 0. Вывод: коэффициент при *x* равен сумме корней с противоположным знаком.

Пример 6. Проверка найденных корней. Для уравнения *x² − 2x − 35 = 0* ученик получил 7 и −5. Проверка: 7 + (−5) = 2 = −(−2) ✓; 7 · (−5) = −35 = q ✓. Вывод: два арифметических действия заменяют повторное решение.

Таблица

Типичные ошибки

Потеря минуса в сумме корней. Ошибка возникает из-за переноса структуры формулы произведения (*q* без знака) на формулу суммы. Неправильно: для *x² − 8x + 15 = 0* сумма равна −8. Правильно: сумма равна −(−8) = 8, корни 3 и 5.

Применение приведённой формулы к неприведённому уравнению. Ученик видит *3x² − 7x + 2 = 0* и берёт сумму 7, произведение 2. Правильно: сумма 7/3, произведение 2/3, корни 2 и 1/3. Перед подбором уравнение либо делят на *a*, либо используют формулы с *a*.

Потеря старшего коэффициента при разложении. Неправильно: *2x² − 6x + 4 = (x − 1)(x − 2)*. Проверка раскрытием даёт *x² − 3x + 2* — трёхчлен уменьшен вдвое. Правильно: *2(x − 1)(x − 2)*.

Неверный знак в скобках. Корень *x₁ = −3* даёт множитель *(x − (−3)) = (x + 3)*, а не *(x − 3)*. Ошибка идёт от механического копирования числа в скобку без учёта его знака.

Подбор при отрицательном дискриминанте. Для *x² + x + 5 = 0* подбор целых чисел с суммой −1 и произведением 5 бесконечен, поскольку *D = 1 − 20 = −19 < 0*. Правильно: сначала оценить *D*, затем подбирать.

Пошаговый алгоритм

1. Записать трёхчлен или уравнение в стандартном виде *ax² + bx + c*, выписать *a*, *b*, *c*.
2. Вычислить дискриминант *D = b² − 4ac* и убедиться, что *D ≥ 0*.
3. Найти сумму *S = −b/a* и произведение *P = c/a*.
4. Определить знаки корней по знакам *P* и *S* (см. таблицу).
5. Перебрать пары делителей числа *P*, найти пару с суммой *S*.
6. Записать корни *x₁* и *x₂*.
7. Для разложения подставить корни в формулу *a(x − x₁)(x − x₂)*, внеся *a* в скобку при дробном корне.
8. Для составления уравнения по корням записать *x² − Sx + P = 0*.
9. Выполнить проверку: подставить корни в обе формулы Виета и раскрыть скобки в разложении — результат обязан совпасть с исходным трёхчленом.

Как запомнить

Формула-двустишие: «Сумма — с противоположным знаком, произведение — как есть» (для приведённого уравнения: *x₁ + x₂ = −p*, *x₁ · x₂ = q*).

Знаковый ориентир: смотреть сначала на свободный член. Плюс — корни «дружат» (одинаковые знаки), минус — «ссорятся» (разные знаки). Знак суммы затем указывает, какой из корней больше по модулю.

Скобочное правило: в скобке число меняет знак — корень *5* даёт *(x − 5)*, корень *−5* даёт *(x + 5)*.

Опорная связка: *ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)* — буква *a* стоит впереди и никогда не исчезает.